大阪大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1) $f(x)=e^x\mathrm{/}(1+e^x)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}$$である。$X=e^p>0$、$A=e^a>1$ とおけば、接線が平行である条件は$$\frac{X}{(1+X{)}^2}=\frac{A}{(1+A{)}^2}$$である。整理すると$$A{X}^2-(1+A^2)X+A=0$$となり$$(X-A)(X-\frac{1}{A})=0$$と因数分解できる。点 $P$ は $A$ と異なるので $X\mathrm{\ne }A$ であり、$X=1\mathrm{/}A=e^{-a}$ である。したがって$$p=-a$$である。

(2) (1)より $p=-a$ である。円板法により、求める体積を $V$ とすると$$V=\pi {\int }_{-a}^a{\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)}^{2}dx\mathrm{.}$$$u=e^x$ とおけば $dx=du\mathrm{/}u$ であるから$$\int {\left(\frac{e^x}{1+e^x}\right)}^{2}dx=\int \frac{u}{(1+u{)}^2}du=\log (1+u)+\frac{1}{1+u}\mathrm{.}$$よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle ={[\log (1+e^x)+\frac{1}{1+e^x}]}_{-a}^a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log \frac{1+e^a}{1+e^{-a}}+\frac{1}{1+e^a}-\frac{1}{1+e^{-a}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a-\frac{e^a-1}{e^a+1}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$V=\pi (a-\frac{e^a-1}{e^a+1})$$である。

対称な2点と平行な接線

$f^{\mathrm{\prime }}(-a)=f^{\mathrm{\prime }}(a)$ で、異なる点は $p=-a$。また $f(-x)=1-f(x)$。

(1) $f^{\mathrm{\prime }}(-x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ と傾き方程式から $p=-a$ を確定する。(2) $f(-x)=1-f(x)$、$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\{1-f(x)\}$ を使って対称区間の積分を短く計算する。

(1) $f(x)=e^x\mathrm{/}(1+e^x)$ とおくと$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{e^x}{(1+e^x{)}^2}$$であり、$f^{\mathrm{\prime }}(-x)=f^{\mathrm{\prime }}(x)$ である。さらに $X=e^p,A=e^a$ とおいて $f^{\mathrm{\prime }}(p)=f^{\mathrm{\prime }}(a)$ を整理すると$$(X-A)(X-\frac{1}{A})=0.$$$P\mathrm{\ne }A$ だから $X=1\mathrm{/}A$、すなわち$$p=-a$$である。

(2) $f(-x)=1-f(x)$ かつ$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\{1-f(x)\}$$である。円板法と対称性により$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \frac{V}{\pi }}& {\displaystyle ={\int }_{-a}^{a}f(x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^a\{f(x{)}^2+f(-x{)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^a\{f(x{)}^2+(1-f(x){)}^2\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_0^a\{1-2f^{\mathrm{\prime }}(x)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a-2\{f(a)-f(0)\}\mathrm{.}}\end{array}$$$f(0)=1\mathrm{/}2$、$f(a)=e^a\mathrm{/}(1+e^a)$ だから$$V=\pi (a-\frac{e^a-1}{e^a+1})$$である。