大阪大学 2020年度
理系数学 第1問

解答

解法1（対数微分で増減を調べる）

$u=x+1$ とおくと、$x\geqq 0$ より $u\geqq 1$ であり、$f(x)=u^{1/u}$ である。$f(x)>0$ だから対数をとって $\log f(x)=\frac{\log u}{u}$ とおける。

(1)

増減と最大値 $g(u)=\frac{\log u}{u}$ とすると $g^{\prime }(u)=\frac{1-\log u}{u^2}$ である。$u=x+1$ だから、$x$ で見ても符号は同じである。したがって

となる。指数関数は単調増加なので、$f(x)$ も同じ増減をもつ。よって最大となるのは $u=e,すなわちx=e-1$ のときであり、その最大値は $e^{1/e}$ である。

(2)

極限 ${\lim }_{x\to \infty }\log f(x)={\lim }_{u\to \infty }\frac{\log u}{u}=0$ であるから $\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=1$ である。また $f^{\prime }(x)=f(x)\cdot \frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}$ であり、$f(x)\to 1$、$\frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}\to 0$ より $\underset{x\to \infty }{\lim }{f}^{\prime }(x)=0$ である。

(3)

グラフ $f(0)=1$ であり、$0<x<e-1$ では増加、$x>e-1$ では減少する。また $x>0$ では $u>1$ だから $\log u>0$ となり、$\log f(x)=\frac{\log u}{u}>0$ すなわち $f(x)>1$ である。したがってグラフは $(0,1)$ から増加して $(e-1,e^{1/e})$ で最大となり、その後は $y=1$ より上側から水平に近づく。接線の傾きも無限遠で0に近づく。

解法2（対数の接線評価で最大値を決める）

$u=x+1$ とおくと $u\geqq 1$ であり

である。

(1)

正の実数 $v$ に対する

に $v=u/e$ を代入すると

だから

を得る。等号は $u/e=1$、すなわち $u=e$ のときだけ成り立つ。指数関数は単調増加なので

であり、最大値は

である。

(2)

与えられた極限から

である。したがって

となる。また

であり、第1因子は1へ、第2因子は0へ収束するので

である。

(3)

導関数の符号は

の符号と一致する。よって $0\leqq x<e-1$ で増加し、$x>e-1$ で減少する。さらに $f(0)=1$、$x>0$ では $f(x)>1$ であるから、グラフは最大点を通った後、直線 $y=1$ へ上側から近づく。