大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$u=x+1$ とおくと、$x\geqq 0$ より $u\geqq 1$ であり、$f(x)=u^{1\mathrm{/}u}$ である。$f(x)>0$ だから対数をとって $$\log f(x)=\frac{\log u}{u}$$ とおける。

(1)
増減と最大値 $$g(u)=\frac{\log u}{u}$$ とすると $$g^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{1-\log u}{u^2}$$ である。$u=x+1$ だから、$x$ で見ても符号は同じである。したがって$$\begin{array}{cccccc}u& 1& & e& & \mathrm{\infty }\\ g^{\mathrm{\prime }}(u)& & +& 0& -& \\ g(u)& 0& \nearrow & \frac{1}{e}& \searrow & 0\end{array}$$となる。指数関数は単調増加なので、$f(x)$ も同じ増減をもつ。よって最大となるのは $$u=e,\text{すなわち}x=e-1$$ のときであり、その最大値は ${\displaystyle e^{1\mathrm{/}e}}$ である。

(2)
極限 $$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log f(x)=\underset{u\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\log u}{u}=0$$ であるから $${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1}$$ である。また $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\cdot \frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}$$ であり、$f(x)\to 1$、$\frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}\to 0$ より $${\displaystyle \underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=0}$$ である。

(3)
グラフ $f(0)=1$ であり、$0<x<e-1$ では増加、$x>e-1$ では減少する。また $x>0$ では $u>1$ だから $\log u>0$ となり、$$\log f(x)=\frac{\log u}{u}>0$$ すなわち $f(x)>1$ である。したがってグラフは $(0,1)$ から増加して $(e-1,e^{1\mathrm{/}e})$ で最大となり、その後は $y=1$ より上側から水平に近づく。接線の傾きも無限遠で0に近づく。

$u=x+1$ とおく。最大値は基本不等式 $\log v\leqq v-1$ に $v=u\mathrm{/}e$ を代入し、$\log u\mathrm{/}u\leqq 1\mathrm{/}e$ と一気に評価する。極限とグラフについては対数表示と導関数の符号を使い、最大値の位置、漸近線、近づく向きを確認する。

$u=x+1$ とおくと $u\geqq 1$ であり$$f(x)=u^{1\mathrm{/}u},\log f(x)=\frac{\log u}{u}$$である。

(1)
正の実数 $v$ に対する$$\log v\leqq v-1$$に $v=u\mathrm{/}e$ を代入すると$$\log u-1\leqq \frac{u}{e}-1$$だから$$\frac{\log u}{u}\leqq \frac{1}{e}$$を得る。等号は $u\mathrm{/}e=1$、すなわち $u=e$ のときだけ成り立つ。指数関数は単調増加なので$$f(x)\leqq e^{1\mathrm{/}e}$$であり、最大値は$$e^{1\mathrm{/}e}(x=e-1)$$である。

(2)
与えられた極限から$$\log f(x)=\frac{\log (x+1)}{x+1}⟶0$$である。したがって$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=1$$となる。また$$f^{\mathrm{\prime }}(x)=f(x)\frac{1-\log (x+1)}{(x+1{)}^2}$$であり、第1因子は1へ、第2因子は0へ収束するので$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{f}^{\mathrm{\prime }}(x)=0$$である。

(3)
導関数の符号は$$1-\log (x+1)$$の符号と一致する。よって $0\leqq x<e-1$ で増加し、$x>e-1$ で減少する。さらに $f(0)=1$、$x>0$ では $f(x)>1$ であるから、グラフは最大点を通った後、直線 $y=1$ へ上側から近づく。