大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおくと $$Z_n=\exp \left(\frac{\pi i}{3}{S}_n\right)$$ である。$Z_n$ が実数となるのは、偏角 $\frac{\pi }{3}{S}_n$ が $\pi$ の整数倍となるとき、すなわち $S_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ のときである。

(1) $S_2$ の取り得る値は $-2,-1,0,1,2$ である。この中で3の倍数は0だけである。したがって $Z_2$ が実数となるのは $S_2=0$ のときで、$$\begin{array}{rl}{\displaystyle P(S_2=0)}& {\displaystyle =P(X_1=0,X_2=0)+P(X_1=1,X_2=-1)+P(X_1=-1,X_2=1)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left(\frac{4}{6}\right)}^2+2\cdot \frac{1}{6}\cdot \frac{1}{6}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{16}{36}+\frac{2}{36}=\frac{1}{2}}\end{array}$$である。よって $Z_2$ が実数でない確率は ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2) $Z_k$ が実数でないことは $S_k\equiv ̸0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ と同値である。最初は $S_0\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ であるから、$k=1$ で実数でないためには $$X_1=1\text{または}{X}_1=-1$$ でなければならない。その確率は $\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$ である。

その後、余りが1または2の状態にいるとする。余り1から余り0へ戻るのは $X=-1$ のときだけ、余り2から余り0へ戻るのは $X=1$ のときだけである。したがって、どちらの場合も余り0を避ける確率は $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$ である。これを $n-1$ 回続ければよいので、求める確率は ${\displaystyle \frac{1}{3}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}}$ である。

(3) $p_n=P(S_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3))$ とおく。$n+1$ 回後に余り0であるには、$n$ 回後に余り0で $X_{n+1}=0$ となるか、余り1または2からちょうど余り0へ移るかである。余り1、2のどちらからでも余り0へ移る確率は $\frac{1}{6}$ なので $$p_{n+1}=\frac{4}{6}{p}_n+\frac{1}{6}(1-p_n)=\frac{1}{2}{p}_n+\frac{1}{6}$$ である。初期値は $S_0=0$ より $p_0=1$ である。

これを $$p_{n+1}-\frac{1}{3}=\frac{1}{2}(p_n-\frac{1}{3})$$ と変形すると、$$p_n-\frac{1}{3}={\left(\frac{1}{2}\right)}^n(p_0-\frac{1}{3})=\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$$である。よって $${\displaystyle p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n}$$ であり、$n\to \mathrm{\infty }$ とすると $${\displaystyle \underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=\frac{1}{3}}$$ である。

$S_n=X_1+\cdots +X_n$ の余り1、2を非実状態として2状態の遷移を考える。(2)はこの部分行列の各行和が $5\mathrm{/}6$ であることから求める。(3)は1の3乗根による余り抽出を使い、$S_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$ の確率を直接計算する。

$S_n=X_1+\cdots +X_n$ とおくと$$Z_n=\exp \left(\frac{\pi i}{3}{S}_n\right)$$であり、$Z_n$ が実数であることは$$S_n\equiv 0(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}3)$$と同値である。

(1)
2回後の余り0の確率は$${\left(\frac{4}{6}\right)}^2+2{\left(\frac{1}{6}\right)}^2=\frac{1}{2}$$である。よって実数でない確率も$$\frac{1}{2}$$である。

(2)
余り1、2だけを状態として残すと、1回の遷移行列は$$Q=\left(\begin{array}{cc}4\mathrm{/}6& 1\mathrm{/}6\\ 1\mathrm{/}6& 4\mathrm{/}6\end{array}\right)$$である。各行和は $5\mathrm{/}6$ だから、いったん非実状態に入った後、次も非実状態に残る条件付き確率は常に $5\mathrm{/}6$ である。初回に非実となる確率は $1\mathrm{/}3$ なので$$P(Z_1,\dots ,Z_n\text{がすべて実数でない})=\frac{1}{3}{\left(\frac{5}{6}\right)}^{n-1}$$となる。

(3)
${\omega }^3=1$、$1+\omega +{\omega }^2=0$ を満たす $\omega \mathrm{\ne }1$ をとる。1回の移動の式は$$F(z)=\frac{z+z^{-1}+4}{6}$$である。余り0の項を抽出すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle p_n}& {\displaystyle =\frac{1}{3}\{F(1{)}^n+F(\omega {)}^n+F({\omega }^2{)}^n\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{1}{3}\{1+2{\left(\frac{1}{2}\right)}^n\}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$p_n=\frac{1}{3}+\frac{2}{3}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{p}_n=\frac{1}{3}$$である。