大阪大学 2020年度理系数学第3問解答・解説

問題

$n$ を2以上の自然数とする．三角形ABCにおいて，辺ABの長さを $c$ ，辺CAの長さを $b$ で表す． $∠ A C B = n ∠ A B C$ であるとき， $c < nb$ を示せ．

出典：大阪大学 2020年度前期日程第2次学力試験理系第3問

正弦定理により $c / b = sin (n B) / sin B$ とする。 $0 < B < n B < π$ の範囲で、加法定理から $sin (k B) < k sin B$ を帰納的に示す。厳密な不等号は $sin (k B) > 0$ と $cos B < 1$ から得る。

関数 $h (x) = sin x / x$ が $0 < x < π$ で狭義単調減少することを微分で証明する。 $0 < B < n B < π$ に単調性を適用すれば、正弦定理で得た辺の比を一度に評価できる。

辺 $A B = c$ は角Cの対辺、辺 $C A = b$ は角Bの対辺である。正弦定理と $C = n B$ より

\frac{c}{b} = \frac{sin ( n B )}{sin B}

である。

三角形の内角なので

0 < B < n B < π

である。 $k = 1, 2, \dots, n$ に対して

sin (k B) ≦ k sin B

を示す。 $k = 1$ では等号で成り立つ。 $1 ≦ k ≦ n - 1$ で成り立つと仮定すると、 $0 < k B < π$ より $sin (k B) > 0$ であり、加法定理から

sin ((k + 1) B) = sin (k B) cos B + cos (k B) sin B < sin (k B) + sin B ≦ (k + 1) sin B .

ここで $B > 0$ より $cos B < 1$ 、また $cos (k B) ≦ 1$ を用いた。

したがって $k = n$ として

sin (n B) < n sin B

である。 $sin B > 0$ だから

\frac{c}{b} < n

となり、 $b > 0$ を掛けて

c < nb

を得る。

正弦定理より

\frac{c}{b} = \frac{sin ( n B )}{sin B}

である。

関数

h (x) = \frac{sin x}{x} (0 < x < π)

を考える。微分すると

h^{'} (x) = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}

である。分子を

q (x) = x cos x - sin x

とおけば

q^{'} (x) = - x sin x < 0 (0 < x < π)

である。また $x \to 0 + 0$ で $q (x) \to 0$ だから、 $0 < x < π$ では $q (x) < 0$ である。よって

h^{'} (x) < 0

となり、 $h$ はこの区間で狭義単調減少する。

いま

0 < B < n B < π

だから

\frac{sin ( n B )}{n B} < \frac{sin B}{B} .

両辺に $n B / sin B > 0$ を掛けると

\frac{sin ( n B )}{sin B} < n .

したがって

\frac{c}{b} < n

であり、 $b > 0$ より

c < nb

を得る。