大阪大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

辺 $AB=c$ は角Cの対辺、辺 $CA=b$ は角Bの対辺である。正弦定理と $C=nB$ より$$\frac{c}{b}=\frac{\sin (nB)}{\sin B}$$である。

三角形の内角なので$$0<B<nB<\pi$$である。$k=1,2,\dots ,n$ に対して$$\sin (kB)\leqq k\sin B$$を示す。$k=1$ では等号で成り立つ。$1\leqq k\leqq n-1$ で成り立つと仮定すると、$0<kB<\pi$ より $\sin (kB)>0$ であり、加法定理から$$\begin{array}{rl}{\displaystyle \sin ((k+1)B)}& {\displaystyle =\sin (kB)\cos B+\cos (kB)\sin B}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle <\sin (kB)+\sin B}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq (k+1)\sin B\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $B>0$ より $\cos B<1$、また $\cos (kB)\leqq 1$ を用いた。

したがって $k=n$ として$$\sin (nB)<n\sin B$$である。$\sin B>0$ だから$$\frac{c}{b}<n$$となり、$b>0$ を掛けて$$c<nb$$を得る。

関数 $h(x)=\sin x\mathrm{/}x$ が $0<x<\pi$ で狭義単調減少することを微分で証明する。$0<B<nB<\pi$ に単調性を適用すれば、正弦定理で得た辺の比を一度に評価できる。

正弦定理より$$\frac{c}{b}=\frac{\sin (nB)}{\sin B}$$である。

関数$$h(x)=\frac{\sin x}{x}(0<x<\pi )$$を考える。微分すると$$h^{\mathrm{\prime }}(x)=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$$である。分子を$$q(x)=x\cos x-\sin x$$とおけば$$q^{\mathrm{\prime }}(x)=-x\sin x<0(0<x<\pi )$$である。また $x\to 0+0$ で $q(x)\to 0$ だから、$0<x<\pi$ では $q(x)<0$ である。よって$$h^{\mathrm{\prime }}(x)<0$$となり、$h$ はこの区間で狭義単調減少する。

いま$$0<B<nB<\pi$$だから$$\frac{\sin (nB)}{nB}<\frac{\sin B}{B}\mathrm{.}$$両辺に $nB\mathrm{/}\sin B>0$ を掛けると$$\frac{\sin (nB)}{\sin B}<n\mathrm{.}$$したがって$$\frac{c}{b}<n$$であり、$b>0$ より$$c<nb$$を得る。