大阪大学 2021年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

(1) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$ とおく。3ベクトルは一次独立であり，$$A_0=\frac{1}{2}\vec{a},B_0=\frac{1}{3}\vec{b},P=(1-s)\vec{a}+s\vec{c},Q=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$$と表せる。

4点の共面条件から，$x+y+z=1$ を満たす実数 $x,y,z$ があって$$Q=x{A}_0+y{B}_0+zP$$と書ける。$\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ の係数を比較すると$$0=\frac{x}{2}+(1-s)z,1-t=\frac{y}{3},t=sz$$である。これらと $x+y+z=1$ を用いて整理すると$$t=\frac{2s}{s+1}$$を得る。

(2)
条件から$$\vec{a}\cdot \vec{b}=-1,\vec{b}\cdot \vec{c}=0,\vec{c}\cdot \vec{a}=1,\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=4$$である。$OP\perp OQ$ より$$0=\{(1-s)\vec{a}+s\vec{c}\}\cdot \{(1-t)\vec{b}+t\vec{c}\}=-(1-s)(1-t)+(1-s)t+4st$$となる。$t=2s\mathrm{/}(s+1)$ を代入すると$$0=5s-1$$だから$$s=\frac{1}{5},t=\frac{1}{3}$$である。両値は指定範囲内にある。

$OA,OB,OC$ を座標軸とみなし，$A_0,B_0,P$ を通る平面の方程式を $2x+3y+\lambda z=1$ と置く。点 $P,Q$ の代入だけで $t$ を求め，後半は内積条件を一度に整理する。

(1)
$\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB},\overrightarrow{OC}$ を基底とする座標では$$A_0=(\frac{1}{2},0,0),B_0=(0,\frac{1}{3},0),P=(1-s,0,s),Q=(0,1-t,t)$$である。$A_0,B_0,P$ を通る平面を$$2x+3y+\lambda z=1$$とおく。$P$ の代入から $\lambda =(2s-1)\mathrm{/}s$，さらに $Q$ の代入から$$3(1-t)+\frac{2s-1}{s}t=1$$を得る。よって$$t=\frac{2s}{s+1}$$である。

(2) $$\vec{a}=\overrightarrow{OA},\vec{b}=\overrightarrow{OB},\vec{c}=\overrightarrow{OC}$$ とおくと$$\vec{a}\cdot \vec{b}=-1,\vec{b}\cdot \vec{c}=0,\vec{c}\cdot \vec{a}=1,\mathrm{\mid }\vec{c}{\mathrm{\mid }}^2=4$$である。したがって$$0=\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OQ}=-(1-s)(1-t)+(1-s)t+4st$$となる。$t=2s\mathrm{/}(s+1)$ を代入すれば $5s-1=0$ だから$$s=\frac{1}{5},t=\frac{1}{3}$$である。