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大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第2問

次の条件によって定められる数列{an}がある．a1=1,an+1=2n−12nan(n=1, 2, 3, ⋯ )(1) 正の整数k, lに対してkk+l−1ak+1al+lk+l−1akal+1=akalが成り立つことを示せ．

(2) 正の整数mに対して∑k=1makam−k+1=1が成り立つことを示せ．

難易度6/ 10計算量5/ 10目安18分

数列　漸化式の変形、和の計算、数学的帰納法

方針

(1) は漸化式から ak+1 と al+1 を ak,al で表し，係数だけを整理する。(2)は Sm=∑k=1makam−k+1 とおき，(1)に l=m−k+1 を代入する。足し合わせた右辺はそのままでは見えにくいので，ajam+2−j の係数を端点 j=1,m+1 と中間 2≦j≦m に分けて確認し，Sm=Sm+1 を得る。最後に S1=1 から全ての m で Sm=1 と結論する。

解答

(1)
漸化式より ak+1=2k−12kak,al+1=2l−12lal である。したがって左辺はkk+l−1ak+1al+lk+l−1akal+1={kk+l−1⋅2k−12k+lk+l−1⋅2l−12l}akal=(2k−1)+(2l−1)2(k+l−1)akal=akal.よって示された。

(2) Sm=∑k=1makam−k+1 とおく。(1)に l=m−k+1 を代入する。このとき k+l−1=m であるから，akam−k+1=kmak+1am−k+1+m−k+1makam−k+2 である。これを k=1,2,…,m について足すとSm=1m∑k=1mkak+1am−k+1+1m∑k=1m(m−k+1)akam−k+2.右辺が Sm+1 になることを係数で確認する。第1の和で j=k+1 とおくと，j=2,3,…,m+1 で，項 ajam+2−j の係数は (j−1)/m である。第2の和で j=k とおくと，j=1,2,…,m で，項 ajam+2−j の係数は (m−j+1)/m である。

したがって，端点 j=1 と j=m+1 の係数はいずれも 1 であり，中間の 2≦j≦m では係数の和が j−1m+m−j+1m=1 となる。よって Sm=∑j=1m+1ajam+2−j=Sm+1 である。

これより Sm=Sm−1=⋯=S1 である。S1=a12=1 だから，すべての正の整数 m について ∑k=1makam−k+1=1 が成り立つ。

総評

公式の出題意図は、漸化式を利用して各等式の成立を正確に示す論証力を問うとしている。誘導を使って畳み込み和を一定にする数列問題。目安時間は18分前後。(1)は代入だけだが，(2)では足し合わせた右辺が Sm+1 になる添字整理をどれだけ丁寧に書けるかが採点の中心である。特に端の項 a1am+1，am+1a1 と，中間項の係数和がすべて 1 になることを明示すると答案の説得力が出る。一般項を求める必要はなく，誘導式の使い方を見抜くのが本問の要点である。
有理数で a1 から a16 まで生成し、(1)の複数の (k,l) と (2) の 1≦m≦10 を独立検算した。

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出典: 大阪大学 2025年度 一般選抜 数学（文系）（大学公式の問題PDF）。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。