大阪大学 2025年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

放物線 $C:y=x^2-1$ は $y$ 軸対称であり，$S$ と $T$ も接点を $y$ 軸に関して反転しても変わらない。したがって，点 $P$ の $x$ 座標を $u>0$ としてよい。すると $P=(u,u^2-1)$ である。

まず，線分 $OP$ を含む直線は原点と $P$ を通るので $$y=\frac{u^2-1}{u}x$$ である。$0\leqq x\leqq u$ ではこの直線と放物線で囲まれる部分が $S$ であり，$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^u\{\frac{u^2-1}{u}x-(x^2-1)\}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[\frac{u^2-1}{2u}{x}^2-\frac{x^3}{3}+x]}_0^u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{u(u^2-1)}{2}-\frac{u^3}{3}+u}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\frac{u^3}{6}+\frac{u}{2}\mathrm{.}}\end{array}$$次に，$C$ の $x=u$ における接線を求める。$y=x^2-1$ の微分係数は $2x$ なので，接線 $l$ は $y-(u^2-1)=2u(x-u)$ すなわち $y=2ux-u^2-1$ である。放物線と接線の差は $$(x^2-1)-(2ux-u^2-1)=(x-u{)}^2$$ であるから，$y$ 軸と接線と放物線で囲まれる面積は $$T={\int }_0^u(x-u{)}^{2}dx={\left[\frac{(x-u{)}^3}{3}\right]}_0^u=\frac{u^3}{3}$$ である。

したがって$$S-T=(\frac{u^3}{6}+\frac{u}{2})-\frac{u^3}{3}=\frac{u}{2}-\frac{u^3}{6}$$である。これを $$H(u)=\frac{u}{2}-\frac{u^3}{6}(u>0)$$ とおく。微分すると $$H^{\mathrm{\prime }}(u)=\frac{1}{2}-\frac{u^2}{2}=\frac{1-u^2}{2}$$ であるから，$0<u<1$ で増加し，$u>1$ で減少する。また $u\to 0+$ では $H(u)\to 0$ であり，$u$ が大きくなると $H(u)$ は負になる。よって最大は $u=1$ でとる。

最大値は $$H(1)=\frac{1}{2}-\frac{1}{6}=\frac{1}{3}$$ である。

最大値を与える $u=1$ の配置では、線分 $OP$ は $x$ 軸上にあり、接線は $y=2x-2$ である。2つの面積の位置関係は次のようになる。