東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

初期条件 $x(0)=0$ より$$x(t)={\int }_0^t\sin sds=1-\cos t\mathrm{.}$$$P$ は $y=x^2$ 上にあるから$$y(t)=(1-\cos t{)}^2\mathrm{.}$$よって速度の $y$ 成分は$$y^{\mathrm{\prime }}(t)=2(1-\cos t)\sin t\mathrm{.}$$最大値は正なので $\sin t>0$ の範囲を調べればよい。
$c=\cos t$ とおくと$$\{y^{\mathrm{\prime }}(t){\}}^2=4(1-c{)}^3(1+c)\mathrm{.}$$$h(c)=(1-c{)}^3(1+c)$ とおけば$$h^{\mathrm{\prime }}(c)=-2(1-c{)}^2(1+2c)\mathrm{.}$$端点では $y^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ であるから、最大は$$\cos t=-{\displaystyle \frac{1}{2}},\sin t={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$のときである。

したがって位置は$$P=({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}})\mathrm{.}$$速度ベクトルは$$(x^{\mathrm{\prime }},y^{\mathrm{\prime }})=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}})\mathrm{.}$$また$$x^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=\cos t=-{\displaystyle \frac{1}{2}},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}=2\{(x^{\mathrm{\prime }}{)}^2+x{x}^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}\}=0$$だから、加速度ベクトルは$$(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\mathrm{.}$$

位置と $y$ 方向速度を求めた後、その速度成分を時刻 $t$ で直接微分する。
周期内の停留点と符号を比較して最大を決める。

解法1と同様に$$x=1-\cos t,y=(1-\cos t{)}^2,$$したがって$$g(t)=y^{\mathrm{\prime }}(t)=2(1-\cos t)\sin t\mathrm{.}$$これを直接微分すると$$g^{\mathrm{\prime }}(t)=2\{{\sin }^{2}t+(1-\cos t)\cos t\}=2(1-\cos t)(1+2\cos t)\mathrm{.}$$1周期内の停留点は $\cos t=1$ または
$\cos t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。$\cos t=1$ では $g=0$ である。
$\cos t=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ のうち $\sin t>0$ となる$$t={\displaystyle \frac{2\pi }{3}}+2k\pi (k=0,1,2,\dots )$$で$$g(t)={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}$$となり、これが最大である。

このとき $\cos t,\sin t$ はどの $k$ でも同じなので、
位置、速度、加速度はそれぞれ$$({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}}),({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}},{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{2}}),(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)$$である。