東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

対角線 $AC$ の半分は $t$ である。もう一方の対角線の半分を $u$ とすると$$t^2+u^2=1,u=\sqrt{1-t^2}\mathrm{.}$$ひし形の中心の高さは $y_0=1+t$、面積は$$2tu=2t\sqrt{1-t^2}$$である。

(1)
$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq u$ における縦切片は$$y_0-h(x)\leqq y\leqq y_0+h(x),h(x)=t(1-{\displaystyle \frac{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{u}})\mathrm{.}$$したがって回転断面積は$$\pi \{(y_0+h{)}^2-(y_0-h{)}^2\}=4\pi y_{0}h\mathrm{.}$$よって$$V=4\pi y_0{\int }_{-u}^{u}h(x)dx=4\pi (1+t)tu=\mathbf{4}\mathbf{\pi }\mathbf{t}(\mathbf{1}+\mathbf{t})\sqrt{\mathbf{1}-{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}}\mathrm{.}$$(2)$$F(t)=t(1+t)\sqrt{1-t^2}$$と置くと$$F^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{-(t+1)(3t^2-t-1)}{\sqrt{1-t^2}}}\mathrm{.}$$$0<t<1$ で最大となるのは$$t={\displaystyle \frac{1+\sqrt{13}}{6}}\mathrm{.}$$したがって$$\mathbf{C}=(\mathbf{0},{\displaystyle \frac{\mathbf{4}+\sqrt{\mathbf{13}}}{\mathbf{3}}})\mathrm{.}$$

高さ $y$ の水平切片を円筒殻として積分する。中心 $y_0=1+t$ の上下で切片長が等しいため、上下を組にすると半径の和が一定になる。最大化は対数微分で行う。

半対角線は$$t,u=\sqrt{1-t^2},$$中心の高さは $y_0=1+t$、面積は $2tu$ である。

(1)
中心から上下へ距離 $s(0\leqq s\leqq t)$ の2本の水平切片は長さが等しい。その長さを $L(s)$ とすると、2本を回した円筒殻の体積要素は$$2\pi \{(y_0+s)+(y_0-s)\}L(s)ds=4\pi y_{0}L(s)ds\mathrm{.}$$また$$2{\int }_0^{t}L(s)ds=2tu$$だから$$V=4\pi y_0{\int }_0^{t}L(s)ds=\mathbf{4}\mathbf{\pi }\mathbf{t}(\mathbf{1}+\mathbf{t})\sqrt{\mathbf{1}-{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}}\mathrm{.}$$(2)$$F(t)=t(1+t)\sqrt{1-t^2}$$ に対し$${\displaystyle \frac{F^{\mathrm{\prime }}(t)}{F(t)}}={\displaystyle \frac{1}{t}}+{\displaystyle \frac{1}{1+t}}-{\displaystyle \frac{t}{1-t^2}}\mathrm{.}$$これが0となる条件は$$3t^2-t-1=0.$$範囲内の根は $$t=(1+\sqrt{13})\mathrm{/}6$$ で、両端では $F(t)\to 0$ だからここで最大である。よって$$\mathbf{C}=(\mathbf{0},{\displaystyle \frac{\mathbf{4}+\sqrt{\mathbf{13}}}{\mathbf{3}}})\mathrm{.}$$