東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第4問

(1)
下底から高さ $z$ の断面半径は$$r(z)=b+{\displaystyle \frac{a-b}{h}}z\mathrm{.}$$したがって$$V=\pi {\int }_0^{h}r(z{)}^{2}dz=\pi h{\int }_0^1\{b+(a-b)u{\}}^{2}du={\displaystyle \frac{\mathbf{\pi }\mathbf{h}}{\mathbf{3}}}({\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{a}\mathbf{b}+{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}})\mathrm{.}$$(2)$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(\cos \theta ,1+\sin \theta ),}& {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(-\sin \theta ,1+\cos \theta ),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =(-\cos \theta ,1-\sin \theta ),}& {\displaystyle S}& {\displaystyle =(\sin \theta ,1-\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
$0\leqq \theta \leqq \pi \mathrm{/}2$ なので正方形は $x$ 軸より上にある。$x$ における縦切片を$$\mathrm{\ell }(x)\leqq y\leqq u(x)$$とする。正方形は $G=(0,1)$ に関して点対称だから$$\mathrm{\ell }(-x)=2-u(x),u(-x)=2-\mathrm{\ell }(x)\mathrm{.}$$縦切片を回した断面積を $$W(x)=\pi \{u(x{)}^2-\mathrm{\ell }(x{)}^2\}$$ とすると$$W(x)+W(-x)=4\pi \{u(x)-\mathrm{\ell }(x)\}\mathrm{.}$$よって$$V={\displaystyle \frac{1}{2}}\int \{W(x)+W(-x)\}dx=2\pi \int \{u(x)-\mathrm{\ell }(x)\}dx\mathrm{.}$$最後の積分は正方形の面積 $2$ だから$$\mathbf{V}=\mathbf{4}\mathbf{\pi }\mathrm{.}$$中心 $G$ に関して向かい合う縦切片を組にする

(1) は半径の一次変化を展開して積分する。(3) は高さ $y$ の水平切片の長さ $L(y)$ を円筒殻として回し、$L(2-y)=L(y)$ の対称性を使う。

(1) $$V=\pi {\int }_0^h{(b+{\displaystyle \frac{a-b}{h}}z)}^{2}dz$$を展開すると$$V=\pi \{b^{2}h+b(a-b)h+{\displaystyle \frac{(a-b{)}^{2}h}{3}}\}={\displaystyle \frac{\mathbf{\pi }\mathbf{h}}{\mathbf{3}}}({\mathbf{a}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{a}\mathbf{b}+{\mathbf{b}}^{\mathbf{2}})\mathrm{.}$$(2)
回転後に $y$ 方向へ1を加えると$$\begin{array}{rlrl}{\displaystyle P}& {\displaystyle =(\cos \theta ,1+\sin \theta ),}& {\displaystyle Q}& {\displaystyle =(-\sin \theta ,1+\cos \theta ),}\\ {\displaystyle R}& {\displaystyle =(-\cos \theta ,1-\sin \theta ),}& {\displaystyle S}& {\displaystyle =(\sin \theta ,1-\cos \theta )\mathrm{.}}\end{array}$$(3)
高さ $y$ における正方形の水平切片の長さを $L(y)$ とする。円筒殻で積分すると$$V=2\pi {\int }_0^{2}yL(y)dy\mathrm{.}$$中心 $(0,1)$ に関する点対称性から $L(2-y)=L(y)$ である。変数を $2-y$ に替えれば$$V=2\pi {\int }_0^2(2-y)L(y)dy\mathrm{.}$$2式を足すと$$2V=4\pi {\int }_0^{2}L(y)dy\mathrm{.}$$最後の積分は正方形の面積 $2$ だから$$\mathbf{V}=\mathbf{4}\mathbf{\pi }$$である。