東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$f(t)=A{t}^4+B{t}^3+C{t}^2+Dt+E$$と置く。条件を $x$ で微分すると$$f(x)-f(x-1)=4x^3\mathrm{.}$$係数比較により$$A=1,B=2,C=1,D=0$$を得る。$x=0$ の元の条件$${\int }_{-1}^{0}f(t)dt=0$$へ代入すると$${\displaystyle \frac{1}{5}}-{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+E=0,$$よって $E=-1\mathrm{/}30$ である。したがって$$\mathbf{f}(\mathbf{t})={\mathbf{t}}^{\mathbf{4}}+\mathbf{2}{\mathbf{t}}^{\mathbf{3}}+{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}-{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{30}}}\mathrm{.}$$(2)$$k^4={\int }_{k-1}^{k}f(t)dt$$を $k=1,\dots ,n$ について足すと$$\sum _{k=1}^n{k}^4={\int }_0^{n}f(t)dt\mathrm{.}$$よって$$\sum _{k=1}^n{k}^4={\displaystyle \frac{n^5}{5}}+{\displaystyle \frac{n^4}{2}}+{\displaystyle \frac{n^3}{3}}-{\displaystyle \frac{n}{30}}={\displaystyle \frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}+\mathbf{1})(\mathbf{2}\mathbf{n}+\mathbf{1})(\mathbf{3}{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{3}\mathbf{n}-\mathbf{1})}{\mathbf{30}}}\mathrm{.}$$

$F^{\mathrm{\prime }}(t)=f(t)$ となる5次式 $F$ を置く。積分条件は $F(x)-F(x-1)=x^4$ なので、係数比較で $F$ を直接求める。(2) は差を足して望遠和にする。

(1) $$F(x)=A{x}^5+B{x}^4+C{x}^3+D{x}^2+Ex$$と置き、$$F(x)-F(x-1)=x^4$$を満たすように係数を比較する。すると$$F(x)={\displaystyle \frac{x^5}{5}}+{\displaystyle \frac{x^4}{2}}+{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x}{30}}$$を得る。したがって$$f(t)=F^{\mathrm{\prime }}(t)={\mathbf{t}}^{\mathbf{4}}+\mathbf{2}{\mathbf{t}}^{\mathbf{3}}+{\mathbf{t}}^{\mathbf{2}}-{\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{30}}}\mathrm{.}$$(2)$$k^4=F(k)-F(k-1)$$だから$$\sum _{k=1}^n{k}^4=F(n)-F(0)={\displaystyle \frac{n^5}{5}}+{\displaystyle \frac{n^4}{2}}+{\displaystyle \frac{n^3}{3}}-{\displaystyle \frac{n}{30}}\mathrm{.}$$整理して$$\sum _{\mathbf{k}=\mathbf{1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{k}}^{\mathbf{4}}={\displaystyle \frac{\mathbf{n}(\mathbf{n}+\mathbf{1})(\mathbf{2}\mathbf{n}+\mathbf{1})(\mathbf{3}{\mathbf{n}}^{\mathbf{2}}+\mathbf{3}\mathbf{n}-\mathbf{1})}{\mathbf{30}}}$$である。