東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right),X=\left(\begin{array}{cc}x& -y\\ y& x\end{array}\right)$$とおく。$AX=O$ より$$ax-by=0,ay+bx=0.$$これらから$$(a^2+b^2)x=0,(a^2+b^2)y=0.$$$A\mathrm{\ne }O$ なので $a^2+b^2>0$ である。よって $x=y=0$、したがって$$X=O\mathrm{.}$$(2)$$X=\left(\begin{array}{cc}r\cos \theta & -r\sin \theta \\ r\sin \theta & r\cos \theta \end{array}\right)(r\geqq 0)$$とおく。加法定理を用いて積を計算すると$$X^3=\left(\begin{array}{cc}{r}^3\cos 3\theta & -r^3\sin 3\theta \\ r^3\sin 3\theta & r^3\cos 3\theta \end{array}\right)\mathrm{.}$$条件より$$r=1,3\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}+2k\pi \mathrm{.}$$異なる3解に対応する角は$$\theta ={\displaystyle \frac{\pi }{6}},{\displaystyle \frac{5\pi }{6}},{\displaystyle \frac{3\pi }{2}}\mathrm{.}$$よって$$X=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}& -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}& -{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right)\mathrm{.}$$

行列 $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$ を複素数 $a+bi$ に対応させる。
行列積が複素数の積に一致するので、零因子と3乗根の問題へ移す。

対応$$\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)⟷a+bi$$を考える。左辺の行列積は、右辺の複素数の積と成分ごとに一致する。

(1)

$A$ に対応する複素数を $\alpha$、$X$ に対応する複素数を $z$ とする。
$A\mathrm{\ne }O$ だから $\alpha \mathrm{\ne }0$ であり、$$\alpha z=0$$なら $z=0$ である。よって $X=O$ である。

(2)

右辺の行列は複素数 $i$ に対応する。したがって$$z^3=i\mathrm{.}$$$$i=\cos {\displaystyle \frac{\pi }{2}}+i\sin {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ であるから、3個の解は$$z=\cos ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{3}})+i\sin ({\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{2k\pi }{3}})(k=0,1,2)\mathrm{.}$$これらを対応する行列へ戻すと、解法1の3個の行列を得る。