東北大学 1984年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

(1)
与えられた行列を $A$ とおくと$$A=\left(\begin{array}{cc}3\mathrm{/}4& \sqrt{3}\mathrm{/}4\\ \sqrt{3}\mathrm{/}4& 1\mathrm{/}4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}2\end{array}\right)$$である。
したがって、任意の点の位置ベクトルを $\vec{x}$ とすると$$f(\vec{x})=\left(\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}\mathrm{/}2& 1\mathrm{/}2\end{array}\right)\vec{x}\right)\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)$$となる。つまり $f(\vec{x})$ は常に$$\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)$$の実数倍である。
よって、移った点は原点を通り傾き $${\displaystyle \frac{1\mathrm{/}2}{\sqrt{3}\mathrm{/}2}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}$$ の直線上にある。求める直線は $$l:y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$$ である。

(2)
点 $(X,Y)$ が $f\circ g$ によって $P(a,b)$ にうつされる条件を求める。
原点のまわりに $-\pi \mathrm{/}3$ 回転する変換 $g$ は$$g(X,Y)=({\displaystyle \frac{1}{2}}X+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y,-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}X+{\displaystyle \frac{1}{2}}Y)$$である。これに $f$ を作用させると、(1) の表示より$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (f\circ g)(X,Y)}& {\displaystyle =\{{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}({\displaystyle \frac{1}{2}}X+{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y)+{\displaystyle \frac{1}{2}}(-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}X+{\displaystyle \frac{1}{2}}Y)\}\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =Y\left(\begin{array}{c}\sqrt{3}\mathrm{/}2\\ 1\mathrm{/}2\end{array}\right)}\end{array}$$である。したがって $$(f\circ g)(X,Y)=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y,{\displaystyle \frac{1}{2}}Y)$$ となる。

いま $P(a,b)$ は $l$ 上にあるので $$b={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ である。$(f\circ g)(X,Y)=P$ となるためには ${\displaystyle \frac{1}{2}}Y=b$ すなわち $$Y=2b={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}$$ であればよい。$X$ には条件がない。
よって、$P$ にうつされる点全体のつくる図形は直線 $$y=2b={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}$$ である。

回転後に $f$ で直線 $l$ へ射影され、$P$ の逆像は水平な直線になる

(1) 行列積をそのまま成分で計算し、像の座標が常に $\sqrt{3}y=x$ を満たすことを示す。(2) 回転 $g$ の座標表示を代入して $f\circ g$ を直接計算し、逆像の条件が第2座標だけを固定することを読み取る。

(1) 点 $(x,y)$ の $f$ による像を $(X,Y)$ とすると$$X={\displaystyle \frac{3x+\sqrt{3}y}{4}},Y={\displaystyle \frac{\sqrt{3}x+y}{4}}\mathrm{.}$$したがって$$\sqrt{3}Y={\displaystyle \frac{3x+\sqrt{3}y}{4}}=X$$である。よって全ての像は$$l:y={\displaystyle \frac{x}{\sqrt{3}}}$$上にある。逆に、例えば $(x,y)=(4X\mathrm{/}3,0)$ と取れば $l$ 上の任意の点が像として得られるので、像全体はこの直線である。

(2) 原点のまわりの $-\pi \mathrm{/}3$ 回転は$$g(X,Y)=({\displaystyle \frac{X+\sqrt{3}Y}{2}},{\displaystyle \frac{-\sqrt{3}X+Y}{2}})$$である。これを上の成分表示へ代入すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle (f\circ g{)}_1(X,Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y,}\\ {\displaystyle (f\circ g{)}_2(X,Y)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{2}}Y\mathrm{.}}\end{array}$$したがって$$(f\circ g)(X,Y)=({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}Y,{\displaystyle \frac{1}{2}}Y)\mathrm{.}$$$P(a,b)\in l$ だから $a=\sqrt{3}b$ である。像が $P$ になる条件は$${\displaystyle \frac{1}{2}}Y=b,$$すなわち $Y=2b=2a\mathrm{/}\sqrt{3}$ だけであり、$X$ は任意である。よって $P$ にうつされる点全体は$$y=2b={\displaystyle \frac{2a}{\sqrt{3}}}$$という水平な直線である。