東北大学 1981年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

点 $(1,0)$ が $(\sqrt{3},-1)$ に移るから、求める行列を$$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& p\\ -1& q\end{array}\right)$$とおく。点 $P(x,y)$ の像は$$Q=(\sqrt{3}x+py,-x+qy)$$である。距離が常に2倍になる条件は、すべての実数 $x,y$ に対して$$(\sqrt{3}x+py{)}^2+(-x+qy{)}^2=4(x^2+y^2)$$が成り立つことである。左辺を整理すると$$4x^2+2(\sqrt{3}p-q)xy+(p^2+q^2)y^2$$となるから、係数比較により$$\sqrt{3}p-q=0,p^2+q^2=4$$を得る。したがって $q=\sqrt{3}p$、$4p^2=4$ であるから$$(p,q)=(1,\sqrt{3}),(-1,-\sqrt{3})\mathrm{.}$$よって$$A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& 1\\ -1& \sqrt{3}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}\sqrt{3}& -1\\ -1& -\sqrt{3}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

長さを常に2倍にする条件を、基本ベクトルの像の長さと直交性として読む。
第1列は既知なので、それに垂直で長さ2の第2列を直接決める。

行列の2本の列ベクトルを $\mathit{a},\mathit{b}$ とする。
任意の実数 $x,y$ に対して$$\mathrm{\mid }x\mathit{a}+y\mathit{b}{\mathrm{\mid }}^2=4(x^2+y^2)$$である。ここで $(x,y)=(1,0),(0,1),(1,1)$ を順に代入するとが分かる。

第1列は$$\mathit{a}=(\sqrt{3},-1)$$である。これに垂直なベクトルは $(1,\sqrt{3})$ の実数倍であり、
$(1,\sqrt{3})$ 自身の長さが2である。したがって第2列は$$\mathit{b}=(1,\sqrt{3}),\mathit{b}=(-1,-\sqrt{3})$$の2通りである。ゆえに解法1と同じ2個の行列を得る。