東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

$f_a(x)$ は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2a$ でだけ正であり、それ以外では0である。したがって$${\int }_{-\pi }^{\pi }{f}_a(x)\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }dx={\int }_{-2a}^{2a}{\displaystyle \frac{2a-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{2a^2}}\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }dx$$である。

この積分区間では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\leqq 2a$ だから $\mathrm{\mid }ax\mathrm{\mid }\leqq 2a^2$ である。$a\to 0$ のとき $2a^2\to 0$ なので、この区間全体で $\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }$ は1に近づく。十分小さい $a$ では $2a^2<\pi \mathrm{/}2$ である。このとき、十分小さい $a$ では $2a^2<\pi \mathrm{/}2$ である。このとき、具体的には $$\cos (2a^2)\leqq \mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }\leqq 1$$ が成り立つ。

また、重みの部分の積分は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-2a}^{2a}{\displaystyle \frac{2a-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{2a^2}}dx}& {\displaystyle =2{\int }_0^{2a}{\displaystyle \frac{2a-x}{2a^2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{a^2}}{[2ax-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}]}_0^{2a}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2.}\end{array}$$である。したがって$$2\cos (2a^2)\leqq {\int }_{-\pi }^{\pi }{f}_a(x)\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }dx\leqq 2$$である。両端は $a\to 0$ でともに2に近づくから、はさみうちにより$$\underset{a\to 0}{\lim }{\int }_{-\pi }^{\pi }{f}_a(x)\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }dx=2$$である。

変数変換 $x=2au$ により、縮んでいく台 $[-2a,2a]$ を固定区間 $[-1,1]$ へ移す。積分は三角形の重み $2(1-\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid })$ と $\mathrm{\mid }\cos (2a^{2}u)\mathrm{\mid }$ の積になる。小さい $a$ では余弦が正なので絶対値を外し、$0\leqq 1-\cos t\leqq t^2\mathrm{/}2$ を用いて極限値2との差を直接0へ挟む。

積分の台だけを残し、$x=2au$ と変数変換すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I_a}& {\displaystyle ={\int }_{-2a}^{2a}{\displaystyle \frac{2a-\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}{2a^2}}\mathrm{\mid }\cos ax\mathrm{\mid }dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2{\int }_{-1}^1(1-\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid })\mathrm{\mid }\cos (2a^{2}u)\mathrm{\mid }du\mathrm{.}}\end{array}$$十分小さい $a>0$ では $\mathrm{\mid }2a^{2}u\mathrm{\mid }<\pi \mathrm{/}2$ なので余弦は正である。

まず余弦を1に置き換えた積分は$$2{\int }_{-1}^1(1-\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid })du=2.$$また、全ての実数 $t$ で$$0\leqq 1-\cos t\leqq {\displaystyle \frac{t^2}{2}}$$が成り立つから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 0\leqq 2-I_a}& {\displaystyle =2{\int }_{-1}^1(1-\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid })\{1-\cos (2a^{2}u)\}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \leqq 4a^4{\int }_{-1}^1(1-\mathrm{\mid }u\mathrm{\mid })u^{2}du}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2}{3}}{a}^4\mathrm{.}}\end{array}$$右端は $a\to 0$ で0に近づく。したがって$$\underset{a\to 0}{\lim }{I}_a=2$$である。