東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

楕円を $x$ 軸のまわりに回転してできる回転体は ${\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}+{\displaystyle \frac{y^2+z^2}{b^2}}\leqq 1$ で表される。$x$ を固定した断面は、半径 $$r=b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}}}$$ の円である。

直方体の2つの面が $x$ 軸に直交するので、その2つの面を対称に $x=-u,x=u$ とおく。ただし $0\leqq u\leqq a$ である。対称に取るのが最も有利である。実際、断面円の半径は $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ が大きいほど小さくなるので、同じ最大の $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ を使うなら区間の長さは $[-u,u]$ が最大になる。 $x=\pm u$ での断面円の半径は $$r=b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}}}$$ である。この円に内接する長方形の面積を最大にするには正方形を取ればよく、その最大面積は $$2r^2=2b^2(1-{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}})$$ である。したがって直方体の体積は$$V(u)=2u\cdot 2b^2(1-{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}})=4b^2(u-{\displaystyle \frac{u^3}{a^2}})$$である。

これを最大にする。微分すると $$V^{\mathrm{\prime }}(u)=4b^2(1-{\displaystyle \frac{3u^2}{a^2}})$$ である。$0\leqq u\leqq a$ で最大となるのは $$u={\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}$$ のときである。このとき$$V_{\max }=4b^2({\displaystyle \frac{a}{\sqrt{3}}}-{\displaystyle \frac{a}{3\sqrt{3}}})={\displaystyle \frac{8a{b}^2}{3\sqrt{3}}}$$である。

一方、回転体全体の体積は、断面積を積分して$${\int }_{-a}^a\pi b^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})dx={\displaystyle \frac{4\pi a{b}^2}{3}}$$である。したがって取り除く部分の体積の最小値は$${\displaystyle \frac{4\pi a{b}^2}{3}}-{\displaystyle \frac{8a{b}^2}{3\sqrt{3}}}={\displaystyle \frac{4a{b}^2}{3}}(\pi -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}})$$である。

直方体の半長を $u$ として、端面の円に入る最大長方形が正方形であることから体積を表す。$s=u\mathrm{/}a$ と規格化し、重み付き相加相乗平均で微分せず最大値を求める。

直方体の $x$ 方向の半長を $u$ とする。端面の断面円の半径は$$r=b\sqrt{1-{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}}}\mathrm{.}$$円に内接する長方形の最大面積は、正方形のときの $2r^2$ だから$$V=4u{b}^2(1-{\displaystyle \frac{u^2}{a^2}})\mathrm{.}$$$s=u\mathrm{/}a$ と置くと $0\leqq s\leqq 1$ で$$V=4a{b}^{2}s(1-s^2)\mathrm{.}$$$y=s^2$ と置き、3つの非負数$$y,{\displaystyle \frac{1-y}{2}},{\displaystyle \frac{1-y}{2}}$$に相加相乗平均を用いると$${\displaystyle \frac{y(1-y{)}^2}{4}}\leqq {\displaystyle \frac{1}{27}}\mathrm{.}$$したがって$$s(1-s^2)\leqq {\displaystyle \frac{2}{3\sqrt{3}}},$$等号は $s=1\mathrm{/}\sqrt{3}$ のときである。最大直方体体積は$${\displaystyle \frac{8a{b}^2}{3\sqrt{3}}}\mathrm{.}$$回転体全体の体積は$${\int }_{-a}^a\pi b^2(1-{\displaystyle \frac{x^2}{a^2}})dx={\displaystyle \frac{4\pi a{b}^2}{3}}\mathrm{.}$$よって取り除く体積の最小値は$${\displaystyle \frac{4a{b}^2}{3}}(\pi -{\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}})\mathrm{.}$$