東北大学 1983年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$C_1,C_2$ の接点の $x$ 座標を $p,q$、共通接線の傾きを $m>0$ とする。$$m=-2p-3=-18q+45.$$各接線の切片は $p^2,9q^2$ だから$$p^2=9q^2\mathrm{.}$$これらを解くと $m=9,-27$ を得るが、$m>0$ より $m=9$ である。したがって$$P=(-6,-18),Q=(2,54),PQ:y=9x+36.$$求める面積は$${\int }_{-6}^0(x+6{)}^{2}dx+{\int }_0^{2}9(x-2{)}^{2}dx=72+24=\mathbf{96.}$$

直線 $y=mx+c$ が各放物線と接する条件を、交点方程式の判別式が0であることから作る。傾き決定後は、接線との差が平方になることを利用する。

直線 $y=mx+c$ が $C_1$ に接する条件は$$x^2+(m+3)x+c=0$$の判別式が0だから$$c={\displaystyle \frac{(m+3{)}^2}{4}}\mathrm{.}$$$C_2$ に接する条件も同様に$$c={\displaystyle \frac{(m-45{)}^2}{36}}\mathrm{.}$$したがって$${\displaystyle \frac{(m+3{)}^2}{4}}={\displaystyle \frac{(m-45{)}^2}{36}}\mathrm{.}$$これを解き、$m>0$ を使うと $m=9$、さらに $c=36$ である。

接線との差は$$(9x+36)-(-x^2-3x)=(x+6{)}^2,$$$$(9x+36)-(-9x^2+45x)=9(x-2{)}^2\mathrm{.}$$よって$$\text{面積}={\int }_{-6}^0(x+6{)}^{2}dx+{\int }_0^{2}9(x-2{)}^{2}dx=\mathbf{96.}$$