東北大学 1986年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 1& a\end{array}\right)$$とする。計算すると$$A^3-A=\left(\begin{array}{cc}a(a^2+3b-1)& b(3a^2+b-1)\\ 3a^2+b-1& a(a^2+3b-1)\end{array}\right)$$である。したがって $A^3=A$ が成り立つためには $$a(a^2+3b-1)=0,b(3a^2+b-1)=0,3a^2+b-1=0$$ が必要である。

ここで $a>0$、$b>0$ なので、$a\mathrm{\ne }0$、$b\mathrm{\ne }0$ である。よって $$a^2+3b-1=0,3a^2+b-1=0$$ を解けばよい。第1式から $$b={\displaystyle \frac{1-a^2}{3}}$$ であり、第2式から $b=1-3a^2$ である。これらを等しいとして $${\displaystyle \frac{1-a^2}{3}}=1-3a^2$$ を得る。整理すると $$1-a^2=3-9a^2,8a^2=2$$ であるから $a^2={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。$a>0$ より $a={\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。さらに $$b=1-3\cdot {\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。したがって $$a={\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

(2) $(1)$ の値を代入すると、1次変換は $$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}y,y^{\mathrm{\prime }}=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}y$$ である。このとき $$y^{\mathrm{\prime }}=2({\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}y)=2x^{\mathrm{\prime }}$$ である。したがって、移った図形は直線 $y^{\mathrm{\prime }}=2x^{\mathrm{\prime }}$ 上にある。

次に $x^{\mathrm{\prime }}$ の範囲を求める。円 $x^2+y^2=1$ 上で $x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{4}}y$ である。内積の形で見ると$$\mathrm{\mid }{x}^{\mathrm{\prime }}\mathrm{\mid }\leqq \sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2}\sqrt{x^2+y^2}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$である。また等号は、$(x,y)$ が $(1\mathrm{/}2,1\mathrm{/}4)$ と同じ向き、または反対向きにあるときに成り立つので、この範囲のすべての値をとる。

したがって移った図形は $$y=2x,-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\leqq x\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$ で表される線分である。端点は$$({\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}},{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}),(-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}},-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}})$$である。

2次行列の恒等式を使って $A^3=A$ を2つの係数条件へ落とす。像は円を三角関数で媒介表示し、一直線上で振幅の範囲を動く線分として図示する。

(1) $$t=2a,d=a^2-b$$と置く。2次行列の直接計算から$$A^2-tA+dE=O,A^3=(t^2-d)A-tdE\mathrm{.}$$$A^3=A$ で、$A$ の左下成分は1だから$$t^2-d-1=0,td=0.$$$a>0$ より $t>0$ なので $d=0$、したがって $b=a^2$ である。さらに $t^2=1$ から$$a={\displaystyle \frac{1}{2}},b={\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}$$(2)$$x=\cos \theta ,y=\sin \theta$$ と置くと$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{1}{2}}\cos \theta +{\displaystyle \frac{1}{4}}\sin \theta ,y^{\mathrm{\prime }}=2x^{\mathrm{\prime }}\mathrm{.}$$ある角 $\varphi$ を用いて$$x^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\cos (\theta -\varphi )$$と書けるので、$x^{\mathrm{\prime }}$ は $-\sqrt{5}\mathrm{/}4$ から $\sqrt{5}\mathrm{/}4$ までの全値を取る。よって像は$$y^{\mathrm{\prime }}=2x^{\mathrm{\prime }},-{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}\leqq x^{\mathrm{\prime }}\leqq {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}}$$で表される線分で、端点は$$(\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{4}},\pm {\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}})$$である。