東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

$C=\cos \theta$、$S=\sin \theta$ とおく。右辺の積を成分で計算すると、第1行は $(xC+yS,-xS+yC)$ 第2行は $(yC+xS,-yS+xC)$ である。これが第1行 $(a,b)$、第2行 $(0,c)$ の行列に等しくなればよい。

まず下左成分を0にするために $yC+xS=0$ を満たすように $\theta$ を選ぶ。条件 $a^2+b^2=c^2$、$b\mathrm{\ne }0$ より $c\mathrm{\ne }0$ かつ $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ である。したがって $a+c\mathrm{\ne }0$ であり、$$\tan \theta =-{\displaystyle \frac{b}{a+c}}$$ を満たす $\theta$ がただ1つ $$-{\displaystyle \frac{\pi }{2}}<\theta <{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$$ に存在する。この範囲では $C=\cos \theta >0$ である。

この $\theta$ に対して $$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{1-{\tan }^2\theta }{1+{\tan }^2\theta }}={\displaystyle \frac{a}{c}},$$ $$\sin 2\theta ={\displaystyle \frac{2\tan \theta }{1+{\tan }^2\theta }}=-{\displaystyle \frac{b}{c}}$$ が成り立つ。ここでは $a^2+b^2=c^2$ を用いて整理している。

成分比較から、下左成分が0であることに加えて $$a=xC+yS,b=-xS+yC,c=-yS+xC$$ が必要である。$yC+xS=0$ より $$y=-x{\displaystyle \frac{S}{C}}$$ であり、これを $c=-yS+xC$ に代入すると $$c=x({\displaystyle \frac{S^2}{C}}+C)={\displaystyle \frac{x}{C}}$$ である。よって $x=cC$ である。また $$y=-x{\displaystyle \frac{S}{C}}=-cS$$ である。

これを $C$ だけで表すと、$$2C^2-1=\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{a}{c}}$$ より $$C^2={\displaystyle \frac{a+c}{2c}}$$ であり、$C>0$ だから $$C=\sqrt{{\displaystyle \frac{a+c}{2c}}}$$ である。したがって $$x=cC={\displaystyle \frac{a+c}{2C}},y=-cS={\displaystyle \frac{b}{2C}}$$ となる。すなわち $$x={\displaystyle \frac{a+c}{2\cos \theta }},y={\displaystyle \frac{b}{2\cos \theta }}$$ である。これにより右辺の各成分は確かに $(a,b),(0,c)$ と一致する。

さらに $$C=\cos \theta =\sqrt{(a+c)\mathrm{/}(2c)}$$ だから、最終的に$$x=c\sqrt{{\displaystyle \frac{a+c}{2c}}},y={\displaystyle \frac{b}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2c}{a+c}}}$$と、$a,b,c$ だけで表せる。

条件から $\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }$ なので $(a+c)\mathrm{/}(2c)>0$ である。そこで $\cos \theta$ を $\cos 2\theta =a\mathrm{/}c$ の半角公式で正に選び、$\sin \theta$ は $\sin 2\theta =-b\mathrm{/}c$ と符号が合うように定める。その後、$x=c\cos \theta ,y=-c\sin \theta$ と置いて積を直接計算し、存在と $a,b,c$ だけによる表示を同時に示す。

条件 $a^2+b^2=c^2,b\text{neqq}0$ から$$\mathrm{\mid }c\mathrm{\mid }>\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid },c\text{neqq}0.$$したがって$$C=\sqrt{{\displaystyle \frac{a+c}{2c}}}$$は正の実数であり、$0<C<1$ である。さらに$$S=-{\displaystyle \frac{b}{2cC}}$$とおくと$$C^2+S^2=1.$$よって $-\pi \mathrm{/}2<\theta <\pi \mathrm{/}2$ に$$\cos \theta =C,\sin \theta =S$$を満たす $\theta$ が存在する。このとき$$\cos 2\theta ={\displaystyle \frac{a}{c}},\sin 2\theta =-{\displaystyle \frac{b}{c}}\mathrm{.}$$ここで$$x=cC,y=-cS$$とおく。行列の積を計算すると、下左成分は$$yC+xS=-cSC+cCS=0,$$下右成分は$$-yS+xC=c(S^2+C^2)=c\mathrm{.}$$また上左・上右成分は$$xC+yS=c(C^2-S^2)=c\cos 2\theta =a,$$$$-xS+yC=-2cSC=-c\sin 2\theta =b\mathrm{.}$$したがって所要の分解が成り立つ。

$x,y$ を $a,b,c$ だけで書けば$$x=c\sqrt{{\displaystyle \frac{a+c}{2c}}},y={\displaystyle \frac{b}{2}}\sqrt{{\displaystyle \frac{2c}{a+c}}}\mathrm{.}$$根号内はいずれも正である。