東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第3問

(1) $$X=ax+by,Y=cx+dy$$とする。$xy=1$ 上では $y=1\mathrm{/}x$ だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle X^2-Y^2}& {\displaystyle =(a^2-c^2)x^2+2(ab-cd)+{\displaystyle \frac{b^2-d^2}{x^2}}\mathrm{.}}\end{array}$$これがすべての $x\mathrm{\ne }0$ で2に等しいための必要十分条件は$$a^2=c^2,b^2=d^2,ab-cd=1.$$$c,d$ がそれぞれ $a,b$ と同符号なら最後の式を満たさない。符号を反対に取ると$$2ab=1.$$したがって $a\mathrm{\ne }0$ であり、$$A=\left(\begin{array}{cc}a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\\ a& -{\displaystyle \frac{1}{2a}}\end{array}\right)\text{または}A=\left(\begin{array}{cc}a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\\ -a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$(2)
第1の行列を$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ a& -b\end{array}\right),2ab=1$$と書くと$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}b& b\\ a& -a\end{array}\right)\mathrm{.}$$これも (1) の条件を満たすには$$b^2-a^2=0,b^2+a^2=1$$が必要十分である。よって$$a^2=b^2={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$$2ab=1$ なので $a,b$ は同符号である。

第2の行列$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ -a& b\end{array}\right)$$の逆行列は$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}b& -b\\ a& a\end{array}\right)\mathrm{.}$$$b^2=a^2$ を満たしても定数項の条件は$$-b^2-a^2=1$$となり不可能である。したがって答えは$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$

$X^2-Y^2=(X+Y)(X-Y)$ と因数分解する。積が $2xy$ になるには2つの1次式が $x,y$ に1本ずつ対応することを使い、2つの行列族を直接作る。

(1)
$xy=1$ 上で$$(X+Y)(X-Y)=2$$が常に成り立つ。$y=1\mathrm{/}x$ を代入して最高次数と最低次数を比べると、2つの1次式 $X+Y$、$X-Y$ は、一方が $x$ の定数倍、他方が $y$ の定数倍でなければならない。順序を含めて2通りある。

第1の場合を$$X+Y=\lambda x,X-Y={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}y$$とすると$$X={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}x+{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}y,Y={\displaystyle \frac{\lambda }{2}}x-{\displaystyle \frac{1}{\lambda }}y\mathrm{.}$$$a=\lambda \mathrm{/}2$ と置けば$$A=\left(\begin{array}{cc}a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\\ a& -{\displaystyle \frac{1}{2a}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$順序を入れ替えると$$X+Y=\lambda y,X-Y={\displaystyle \frac{2}{\lambda }}x$$であり、$$A=\left(\begin{array}{cc}a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\\ -a& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$いずれも $a\mathrm{\ne }0$ である。

(2)
第1の行列族では$$A^{-1}=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{2a}}& {\displaystyle \frac{1}{2a}}\\ a& -a\end{array}\right)\mathrm{.}$$この行列の2行から作る差の平方が $2xy$ になる条件は$$a^2={\displaystyle \frac{1}{4a^2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$よって$$a={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\text{または}a=-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\mathrm{.}$$第2の行列族では、逆変換について $(X+Y)(X-Y)$ の $xy$ の係数が負になり、2にはできない。

したがって$$A=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right),A=\left(\begin{array}{cc}-{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\\ -{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}& {\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\end{array}\right)\mathrm{.}$$