東北大学 1988年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$P=(\cos t,\sin t),0\leqq t\leqq \pi$$と置くと$$Q=(\cos t,0)\mathrm{.}$$$a>1$ だから底辺と高さは$$AQ=a-\cos t,PQ=\sin t\mathrm{.}$$よって$$S_a(P)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a-\cos t)\sin t\mathrm{.}$$等弧間隔から $P_k$ は $t=k\pi \mathrm{/}n$ に対応する。したがって面積の平均は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle M(a)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}{\int }_0^{\pi }{\displaystyle \frac{1}{2}}(a-\cos t)\sin tdt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{1}{\pi }}\{{\displaystyle \frac{a}{2}}{\int }_0^{\pi }\sin tdt-{\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^{\pi }\cos t\sin tdt\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{a}{\pi }}\mathrm{.}}\end{array}$$(2)
$P=(x,y)$ とすれば$$S_a(P)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a-x)y\mathrm{.}$$$S_a(P)=M(a)$ は$$y(1-{\displaystyle \frac{x}{a}})={\displaystyle \frac{2}{\pi }}$$と同値である。選ばれた点についても$$-1\leqq x_a\leqq 1$$だから $x_a\mathrm{/}a\to 0$ である。よって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_a={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{.}$$

$t_k=k\pi \mathrm{/}n$ を代入した有限和を、正弦和の公式で厳密に計算してから極限を取る。(2) は得られた $M(a)$ と半円上の有界性を使う。

(1) $$t_k={\displaystyle \frac{k\pi }{n}}$$とおけば$$S_a(P_k)={\displaystyle \frac{1}{2}}(a-\cos t_k)\sin t_k\mathrm{.}$$したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{S}_a(P_k)=}& {\displaystyle {\displaystyle \frac{a}{2n}}\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle -{\displaystyle \frac{1}{4n}}\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}\mathrm{.}}\end{array}$$正弦の和の公式から$$\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{k\pi }{n}}=\cot {\displaystyle \frac{\pi }{2n}},\sum _{k=1}^n\sin {\displaystyle \frac{2k\pi }{n}}=0.$$よって$${\displaystyle \frac{1}{n}}\sum _{k=1}^n{S}_a(P_k)={\displaystyle \frac{a}{2n}}\cot {\displaystyle \frac{\pi }{2n}}\mathrm{.}$$$u=\pi \mathrm{/}(2n)$ とおくと $u\to 0+$ で $u\cot u\to 1$ だから$$M(a)={\displaystyle \frac{a}{\pi }}\mathrm{.}$$(2)$${\displaystyle \frac{1}{2}}(a-x_a)y_a={\displaystyle \frac{a}{\pi }}$$より$$y_a(1-{\displaystyle \frac{x_a}{a}})={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{.}$$$-1\leqq x_a\leqq 1$ なので $x_a\mathrm{/}a\to 0$。したがって$$\underset{a\to \mathrm{\infty }}{\lim }{y}_a={\displaystyle \frac{2}{\pi }}\mathrm{.}$$