東北大学 1987年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

$y=e^x$ の $x=u$ における接線は $$y=e^u(x-u)+e^u=e^{u}x+e^u(1-u)$$ である。この直線が $y=a{x}^2$ にも接するとする。交点を調べると $a{x}^2=e^{u}x+e^u(1-u)$ すなわち $a{x}^2-e^{u}x-e^u(1-u)=0$ である。接するためには、この2次方程式が重解をもてばよい。判別式を0として $e^{2u}+4a{e}^u(1-u)=0$ を得る。したがって $$a={\displaystyle \frac{e^u}{4(u-1)}}$$ である。右辺を $$\varphi (u)={\displaystyle \frac{e^u}{4(u-1)}}(u\mathrm{\ne }1)$$ とおく。

まず $u<1$ では $\varphi (u)<0$ である。また $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)={\displaystyle \frac{(u-2)e^u}{4(u-1{)}^2}}$$ なので、$u<1$ では ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)<0$ である。さらに $$\underset{u\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\varphi (u)=0,\underset{u\to 1-}{\lim }\varphi (u)=-\mathrm{\infty }$$ である。よって $a<0$ のときは、対応する $u<1$ がただ1つ存在し、共通接線は1本である。

次に $u>1$ では $\varphi (u)>0$ である。導関数の符号から、$\varphi (u)$ は $1<u<2$ で減少し、$u>2$ で増加する。最小値は $u=2$ のときで $$\varphi (2)={\displaystyle \frac{e^2}{4}}$$ である。また $u\to 1+$ と $u\to \mathrm{\infty }$ で $\varphi (u)\to \mathrm{\infty }$ となる。

したがって共通接線の本数は$$\{\begin{array}{ll}1\text{本}& (a<0),\\ 0\text{本}& (0<a<{\displaystyle \frac{e^2}{4}}),\\ 1\text{本}& (a={\displaystyle \frac{e^2}{4}}),\\ 2\text{本}& (a>{\displaystyle \frac{e^2}{4}})\end{array}$$である。

共通接線を $y=mx+n$ と置く。指数曲線に接するため $m>0$ で、接点は $x=\log m$、切片は $m(1-\log m)$ となる。放物線に接する条件は $a{x}^2-mx-n=0$ の判別式が0であること。この二条件から $a=m\mathrm{/}\{4(\log m-1)\}$ を得て、$m<e$ と $m>e$ の各枝の値域を調べる。

共通接線を $y=mx+n$ とする。これが $y=e^x$ に接するなら、接点を $x=u$ として$$m=e^u>0,n=e^u(1-u)=m(1-\log m)\mathrm{.}$$一方、$y=a{x}^2$ と接する条件は$$a{x}^2-mx-n=0$$が重解をもつことだから$$m^2+4an=0.$$切片 $n$ を代入すると$$a={\displaystyle \frac{m}{4(\log m-1)}}(m>0,m\text{neqq}e)\mathrm{.}$$$$\psi (m)={\displaystyle \frac{m}{4(\log m-1)}}$$とおく。$0<m<e$ では $\psi (m)<0$ であり、$${\psi }^{\mathrm{\prime }}(m)={\displaystyle \frac{\log m-2}{4(\log m-1{)}^2}}<0.$$また $m\to 0+$ で $\psi (m)\to 0-$、$m\to e-$ で $\psi (m)\to -\mathrm{\infty }$ だから、$a<0$ では1本である。

$m>e$ では正で、$e<m<e^2$ で減少、$m>e^2$ で増加する。最小値は$$\psi (e^2)={\displaystyle \frac{e^2}{4}}\mathrm{.}$$したがって本数は$$\{\begin{array}{ll}1& (a<0),\\ 0& (0<a<e^2\mathrm{/}4),\\ 1& (a=e^2\mathrm{/}4),\\ 2& (a>e^2\mathrm{/}4)\end{array}$$である。傾き $m$ が異なれば接線も異なるので、この解の個数がそのまま本数になる。