東北大学 1993年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

まず被積分関数を整理すると $$3t^2(t+1)(t-1)=3t^2(t^2-1)=3t^4-3t^2$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f(x)}& {\displaystyle ={\int }_x^{x+1}(3t^4-3t^2)dt}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[{\displaystyle \frac{3}{5}}{t}^5-t^3]}_x^{x+1}}\end{array}$$である。これを展開して整理すると $$f(x)=3x^4+6x^3+3x^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$ であり、$$f(x)=3x^2(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$ とも書ける。

微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^3+18x^2+6x=6x(x+1)(2x+1)$$ である。したがって臨界点は $$x=-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}},0$$ である。

符号を調べると、$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は$$(-\mathrm{\infty },-1)\text{で負},(-1,-{\displaystyle \frac{1}{2}})\text{で正},(-{\displaystyle \frac{1}{2}},0)\text{で負},(0,\mathrm{\infty })\text{で正}$$である。よって $x=-1$ と $x=0$ で極小、$x=-1\mathrm{/}2$ で極大となる。

値は $$f(-1)=3\cdot 1\cdot 0-{\displaystyle \frac{2}{5}}=-{\displaystyle \frac{2}{5}},f(0)=-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$ であり、$$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=3\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{3}{16}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}=-{\displaystyle \frac{17}{80}}$$である。したがって$$\text{極小値 }-{\displaystyle \frac{2}{5}}(x=-1,0),\text{極大値 }-{\displaystyle \frac{17}{80}}(x=-{\displaystyle \frac{1}{2}})$$である。

グラフの概形については、$$f(x)=3x^2(x+1{)}^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$ より $x=-1\mathrm{/}2$ に関して左右対称であり、$x\to \pm \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$ である。$x=-1$ と $x=0$ に同じ高さの谷をもち、その間の $x=-1\mathrm{/}2$ に山をもつ。ただしその極大値 $-17\mathrm{/}80$ も負である。以上を用いて、左右対称なW字型の概形を描けばよい。

積分を実行した後、$z=x+1\mathrm{/}2$ と平行移動する。$f(x)=3(z^2-1\mathrm{/}4{)}^2-2\mathrm{/}5$ となるので、$p=z^2\geqq 0$ 上の二次関数として極小と中央の極大を読み、対称性から概形を描く。

積分を実行すると$$f(x)=3x^4+6x^3+3x^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$$$z=x+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$とおけば $x(x+1)=z^2-1\mathrm{/}4$ だから$$f(x)=3{(z^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}\mathrm{.}$$$p=z^2\geqq 0$ と見ると、右辺は$$3{(p-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$である。これは $p=1\mathrm{/}4$ で最小になる。したがって$$z=\pm {\displaystyle \frac{1}{2}},x=-1,0$$で極小値$$-{\displaystyle \frac{2}{5}}$$をとる。

$z=0$、すなわち $x=-1\mathrm{/}2$ の近くでは、$\mathrm{\mid }z\mathrm{\mid }$ を0から増やすと $p=z^2$ が増え、$0\leqq p\leqq 1\mathrm{/}4$ では値が減る。したがって $x=-1\mathrm{/}2$ は極大点であり、$$f(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=3{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^2-{\displaystyle \frac{2}{5}}=-{\displaystyle \frac{17}{80}}\mathrm{.}$$式は $z$ の偶関数なので対称軸は $x=-1\mathrm{/}2$ である。また $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }\to \mathrm{\infty }$ で $f(x)\to \mathrm{\infty }$。よってグラフは、$(-1,-2\mathrm{/}5)$、$(0,-2\mathrm{/}5)$ に谷、$(-1\mathrm{/}2,-17\mathrm{/}80)$ に中央の山をもつ左右対称なW字型である。