東北大学 1994年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第3問

(1)

点 $P$ は直線 $x=1$ 上を動き、速度ベクトルは $(0,\sqrt{2}\cos t)$ である。$t=0$ で $P=(1,0)$ だから、$P$ の座標は $P=(1,\sqrt{2}\sin t)$ である。

直線 $OP$ は原点と $P$ を通るので、その方程式は $y=\sqrt{2}\sin tx$ である。点 $Q$ はこの直線と曲線 $C:y=x\log x$ の交点であり、$x>0$ だから $x\log x=\sqrt{2}\sin tx$ より $\log x=\sqrt{2}\sin t$ である。したがって $x=e^{\sqrt{2}\sin t}$ であり、$$Q=(e^{\sqrt{2}\sin t},\sqrt{2}\sin t{e}^{\sqrt{2}\sin t})$$ である。 $Q$ の速度ベクトルの $x$ 成分は、$Q$ の $x$ 座標を $t$ で微分して $${\displaystyle \frac{d}{dt}}{e}^{\sqrt{2}\sin t}=\sqrt{2}\cos t{e}^{\sqrt{2}\sin t}$$ である。これを $$v(t)=\sqrt{2}\cos t{e}^{\sqrt{2}\sin t}$$ とおく。

微分すると $$v^{\mathrm{\prime }}(t)=\sqrt{2}{e}^{\sqrt{2}\sin t}\{-\sin t+\sqrt{2}{\cos }^{2}t\}$$ である。$s=\sin t$ とおくと、$v^{\mathrm{\prime }}(t)=0$ は $-s+\sqrt{2}(1-s^2)=0$ すなわち $\sqrt{2}{s}^2+s-\sqrt{2}=0$ である。これを解くと $s={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$ だけが $-1\leqq s\leqq 1$ に入る。したがって候補は $$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}},t={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$ である。

それぞれの値は $$v\left({\displaystyle \frac{\pi }{4}}\right)=e,v\left({\displaystyle \frac{3\pi }{4}}\right)=-e$$ である。端点や他の点での値はこれを超えないので、最大は $t=\pi \mathrm{/}4$、最小は $t=3\pi \mathrm{/}4$ である。このとき $\sqrt{2}\sin t=1$ なので、どちらの場合も $Q=(e,e)$ である。

よって $$\text{最大: }t={\displaystyle \frac{\pi }{4}},Q=(e,e)$$ $$\text{最小: }t={\displaystyle \frac{3\pi }{4}},Q=(e,e)$$ である。

直線 $OP$ と曲線 $C$

速度の大きさを二乗して $\sin t$ だけの関数へ落とす。符号は $\cos t$ が決めるため、同じ $\sin t$ で最大と最小が対になって現れることを利用する。

速度を積分すると$$P=(1,\sqrt{2}\sin t)\mathrm{.}$$したがって直線 $OP$ と $y=x\log x$ の交点は$$Q=(e^{\sqrt{2}\sin t},\sqrt{2}\sin t{e}^{\sqrt{2}\sin t})\mathrm{.}$$$x$ 方向の速度は$$v(t)=\sqrt{2}\cos t{e}^{\sqrt{2}\sin t}\mathrm{.}$$$s=\sin t$ とおくと$$v(t{)}^2=2(1-s^2)e^{2\sqrt{2}s}\mathrm{.}$$その対数を $s$ で微分すると$$-{\displaystyle \frac{2s}{1-s^2}}+2\sqrt{2}=0,$$区間 $[-1,1]$ にある解は $s=1\mathrm{/}\sqrt{2}$ だけである。
このとき $\mathrm{\mid }v\mathrm{\mid }=e$。$\cos t>0$ となる$$t={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$で最大 $e$、$\cos t<0$ となる$$t={\displaystyle \frac{3\pi }{4}}$$で最小 $-e$ となる。どちらも$$Q=(e,e)$$である。