東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $f(-x)=-f(x)$であるから、$f$は奇関数である。$-1<x<1$で微分すると $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3x^2\sqrt{1-x^2}+x^3\cdot {\displaystyle \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}}$$ であり、整理して $$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{x^2(3-4x^2)}{\sqrt{1-x^2}}}$$ となる。 $0<x<1$では分母と$x^2$は正であるから、符号は$3-4x^2$で決まる。よって$$0<x<{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\text{で増加},{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}<x<1\text{で減少}$$である。したがって最大値は$$f\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)={\left({\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}\right)}^3\sqrt{1-{\displaystyle \frac{3}{4}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}}$$である。奇関数より最小値は $-{\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}}$ で、$$x=-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}$$のときに達する。グラフは$x=-1,0,1$で$x$軸と交わり、原点に関して対称である。

(2)
面積は正の部分を2倍して $$S=2{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1-x^2}dx$$ である。$u=1-x^2$とおくと、$du=-2xdx$, $x^2=1-u$であるから $${\int }_0^1{x}^3\sqrt{1-x^2}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}{\int }_0^1(1-u)u^{1\mathrm{/}2}du$$ となる。よって $${\displaystyle \frac{1}{2}}({\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}})={\displaystyle \frac{2}{15}}$$ である。したがって $$S=2\cdot {\displaystyle \frac{2}{15}}={\displaystyle \frac{4}{15}}$$ である。

奇関数性を使い、正の側では $f^2=x^6(1-x^2)$ を最大化して平方根の微分を避ける。面積は $u=x^2$ でベータ型の積分へ変える。

(1)

$f$ は奇関数である。$0\leqq x\leqq 1$ では $f\geqq 0$ なので$$f(x{)}^2=x^6(1-x^2)$$を最大化すればよい。微分すると$${\displaystyle \frac{d}{dx}}f(x{)}^2=2x^5(3-4x^2)\mathrm{.}$$したがって最大は $x=\sqrt{3}\mathrm{/}2$ で、$$f_{\max }=\sqrt{{\displaystyle \frac{27}{256}}}={\displaystyle \frac{3\sqrt{3}}{16}}\mathrm{.}$$奇関数性から最小値は $-3\sqrt{3}\mathrm{/}16$ で、$x=-\sqrt{3}\mathrm{/}2$ のときに取る。零点は $-1,0,1$ で、原点対称の概形となる。

(2) $$S=2{\int }_0^1{x}^3\sqrt{1-x^2}dx\mathrm{.}$$$u=x^2$ とおくと $x^{3}dx=udu\mathrm{/}2$ だから$$S={\int }_0^{1}u\sqrt{1-u}du\mathrm{.}$$$v=1-u$ と置けば$$S={\int }_0^1(1-v)v^{1\mathrm{/}2}dv={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{5}}={\displaystyle \frac{4}{15}}\mathrm{.}$$