東北大学 1995年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第2問

(1) $u=e^x$ とおくと $u>0$ であり，$$f(x)=e^x(e^x-3{)}^2=u(u-3{)}^2$$ である。$u$ で微分すると $${\displaystyle \frac{d}{du}}\{u(u-3{)}^2\}=(u-3{)}^2+2u(u-3)=(u-3)(3u-3)=3(u-1)(u-3)$$ である。また $du\mathrm{/}dx=e^x=u>0$ だから $f^{\mathrm{\prime }}(x)=3u(u-1)(u-3)$ である。

したがって，$0<u<1$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$，$1<u<3$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$，$3<u$ で $f^{\mathrm{\prime }}(x)>0$ となる。すなわち $u=1,u=3$ に対応する $x=0,x=\log 3$ で極値をとる。値は $$f(0)=1\cdot (1-3{)}^2=4,f(\log 3)=3(3-3{)}^2=0$$ である。よって $$\text{極大値 }4(x=0),\text{極小値 }0(x=\log 3)$$ である。

(2) (1) より $b=4$ である。直線 $y=4$ と曲線の交点は $u(u-3{)}^2=4$ で決まる。左辺を移項して $u^3-6u^2+9u-4=0$ であり，これは $(u-1{)}^2(u-4)=0$ と因数分解できる。$u=1$ は極大点で接している点，$u=4$ はもう一方の交点である。したがって囲まれる部分は $x=0$ から $x=\log 4$ までで，その面積は$${\int }_0^{\log 4}\{4-f(x)\}dx$$である。 $u=e^x$ とすると $dx=du\mathrm{/}u$ であり，積分範囲は $u=1$ から $u=4$ になる。よって面積は$${\int }_1^4\{{\displaystyle \frac{4}{u}}-(u-3{)}^2\}du$$である。ここで$${\int }_1^4(u-3{)}^{2}du={\int }_1^4(u^2-6u+9)du=3$$だから，求める面積は $4\log 4-3$ である。

極大値の直線と囲まれる領域

置換をせず、$x$ のまま微分・積分する。指数関数の正値を利用して増減を決め、面積は $e^x,e^{2x},e^{3x}$ の原始関数を直接代入して求める。

(1) $$f^{\mathrm{\prime }}(x)=3e^{3x}-12e^{2x}+9e^x=3e^x(e^x-1)(e^x-3)\mathrm{.}$$$e^x>0$ だから、$x<0$ で増加、$0<x<\log 3$ で減少、
$x>\log 3$ で増加する。したがって$$\text{極大値 }4(x=0),\text{極小値 }0(x=\log 3)$$である。

(2)
直線 $y=4$ との交点は$$e^{3x}-6e^{2x}+9e^x-4=0.$$$u=e^x$ と見て因数分解だけ行うと$$(e^x-1{)}^2(e^x-4)=0$$なので、囲まれる区間は $0\leqq x\leqq \log 4$ である。面積を
$S$ とすれば$$\begin{array}{rl}{\displaystyle S}& {\displaystyle ={\int }_0^{\log 4}(4-e^{3x}+6e^{2x}-9e^x)dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={[4x-{\displaystyle \frac{1}{3}}{e}^{3x}+3e^{2x}-9e^x]}_0^{\log 4}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4\log 4-3.}\end{array}$$よって求める面積は $4\log 4-3$ である。