東北大学 1997年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

曲線は $y=(x-a{)}^2-4$ であり、$x\geqq a$の部分を考えるので $$x=a+\sqrt{y+4}$$ と表せる。

正方形は$0\leqq x\leqq 4$, $0\leqq y\leqq 4$である。高さ$y$で見たとき、曲線の右側の横幅は $$4-(a+\sqrt{y+4})=4-a-\sqrt{y+4}$$ である。曲線が正方形の面積16を2等分するので、この右側の面積を8とおくと $${\int }_0^4\{4-a-\sqrt{y+4}\}dy=8$$ である。

計算すると $${\int }_0^4(4-a)dy=16-4a$$ であり、$${\int }_0^4\sqrt{y+4}dy={[{\displaystyle \frac{2}{3}}(y+4{)}^{3\mathrm{/}2}]}_0^4={\displaystyle \frac{2}{3}}(8^{3\mathrm{/}2}-4^{3\mathrm{/}2})={\displaystyle \frac{32\sqrt{2}-16}{3}}$$である。したがって $$16-4a-{\displaystyle \frac{32\sqrt{2}-16}{3}}=8$$ となる。これを解くと $$a={\displaystyle \frac{10-8\sqrt{2}}{3}}$$ である。

このとき下辺$y=0$での$x$座標は $$a+2={\displaystyle \frac{16-8\sqrt{2}}{3}}$$ であり、上辺$y=4$での$x$座標は $$a+2\sqrt{2}={\displaystyle \frac{10-2\sqrt{2}}{3}}$$ である。いずれも0と4の間にあるので、上の面積式は正方形内の配置に合っている。

水平断面で曲線の左側の面積を直接求める。正方形を二等分するので、その面積を8と置き、求めた $a$ で境界が正方形内を横切ることを確認する。

右枝 $E$ は$$x=a+\sqrt{y+4}(0\leqq y\leqq 4)$$と表せる。高さ $y$ における曲線左側の幅は $a+\sqrt{y+4}$ だから、その面積は$${\int }_0^4(a+\sqrt{y+4})dy\mathrm{.}$$これが正方形の半分 $8$ に等しいので$$4a+{\displaystyle \frac{2}{3}}(8^{3\mathrm{/}2}-4^{3\mathrm{/}2})=8.$$したがって$$4a+{\displaystyle \frac{32\sqrt{2}-16}{3}}=8,$$$$a={\displaystyle \frac{10-8\sqrt{2}}{3}}\mathrm{.}$$このとき$$0<a+2<a+2\sqrt{2}<4$$が成り立つので、曲線は下辺から上辺まで正方形内部を横切り、用いた面積式は妥当である。