方針
共有点の x 座標を u とし、同じ点を通る条件と接線の傾きが等しい条件を連立する。負の共有点を選ぶことで u=−2 が決まり、そこから a と共通接線を求める。面積は2曲線の差を因数分解し、接点が重なりなので (x+2)2 をもつことを利用して積分する。
解答
(1)
共有点の x 座標を u とする。2つの曲線がその点を共有し、さらに共通の接線をもつので、関数値と導関数値がそれぞれ等しい。したがって u3−16u=−u3−2u2+a かつ 3u2−16=−3u2−4u である。傾きの条件を整理すると 6u2+4u−16=0 すなわち 3u2+2u−8=0 である。これを解くと u=−2,u=34 である。共有点の x 座標は負であるから u=−2 である。
このとき第1の曲線での y 座標は (−2)3−16(−2)=24 である。一方、第2の曲線では −(−2)3−2(−2)2+a=a であるから、a=24 である。
(2)
接点は (−2,24) である。傾きは 3(−2)2−16=−4 だから、共通接線 l は y−24=−4(x+2) すなわち y=−4x+16 である。
(3) a=24 のとき、2曲線の差は(x3−16x)−(−x3−2x2+24)=2x3+2x2−16x−24=2(x−3)(x+2)2.接点 x=−2 では重なっており、もう一つの交点は x=3 である。−2≦x≦3 では (x+2)2≧0、x−3≦0 だから、上側は第2の曲線である。したがって面積 S は S=∫−23−2(x−3)(x+2)2dx である。v=x+2 とおくと、0≦v≦5、x−3=v−5 なのでS=∫052v2(5−v)dv=2[35v3−41v4]05=6625.よって求める面積は 6625 である。
別解
解法2
方針
2曲線の差を1つの3次多項式と見る。共通接線をもつ共有点は、この差の多項式の重解になるため、差とその導関数の共通零点から負の接点と a を決める。
解答
(1)
2曲線の差をH(x)=(x3−16x)−(−x3−2x2+a)=2x3+2x2−16x−aとおく。共通接線をもつ共有点の x 座標 u はH(u)=H′(u)=0を満たす。まずH′(x)=6x2+4x−16=2(3x−4)(x+2)である。負の共有点という条件からu=−2.さらに H(−2)=0 より24−a=0,したがってa=24.(2)
接点は (−2,24)、傾きは3(−2)2−16=−4なのでl: y=−4x+16.(3)
a=24 のときH(x)=2(x−3)(x+2)2.−2<x<3 では H(x)<0 だから、第2曲線が上側である。よって面積はS=−∫−23H(x)dx=∫−232(3−x)(x+2)2dx.v=x+2 とおくとS=2∫05(5−v)v2dv=2[35v3−41v4]05=6625.
総評
難度6、計算量6。共通接線の条件は関数値と導関数値の一致であり、差の多項式では重解条件になる。面積計算では接点 x=−2 で上下が入れ替わらない。 2解法の最終値を照合し、境界条件・符号・定義域も確認した。
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出典: 東北大学 1996年度 後期日程 文系・理系共通 文系第1問・理系第1問。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。
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