東北大学 1998年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第1問

(1) $$y={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$$ より $y(e^x+1)=e^x$ であるから $$e^x={\displaystyle \frac{y}{1-y}}$$ である。したがって逆関数は $$g(y)=\log {\displaystyle \frac{y}{1-y}}(0<y<1)$$ である。

(2) $$F(b)={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx-bf(b)+af(a)$$ とおく。$g(f(b))=b$であるから $$F^{\mathrm{\prime }}(b)=f(b)+g(f(b))f^{\mathrm{\prime }}(b)-f(b)-b{f}^{\mathrm{\prime }}(b)=0$$ である。したがって$F(b)$は定数である。$b=a$のとき$F(a)=0$であるから、すべての$b$について $${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx=bf(b)-af(a)$$ が成り立つ。

(2) の微分による証明では，上端が $f(b)$ の積分を微分する点が重要である。すなわち $${\displaystyle \frac{d}{db}}{\int }_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx=g(f(b))f^{\mathrm{\prime }}(b)=b{f}^{\mathrm{\prime }}(b)$$ である。これは $g$ が $f$ の逆関数であるため $g(f(b))=b$ となるからである。したがって差の導関数は0になり，$b=a$ で両辺がともに0になることから等式が従う。

(1) は指数方程式を解く。(2)はfのグラフと逆関数のグラフがy=xについて対称であることを用い、対応する曲線下の面積を長方形へ組み替える。

(1) $$y={\displaystyle \frac{e^x}{e^x+1}}$$を $e^x$ について解くと$$e^x={\displaystyle \frac{y}{1-y}}\mathrm{.}$$したがって$$g(y)=\log {\displaystyle \frac{y}{1-y}}(0<y<1)\mathrm{.}$$(2)

$y=f(x)$ の $a\leqq x\leqq b$ の部分を直線 $y=x$ に関して反転すると、$y=g(x)$ の $f(a)\leqq x\leqq f(b)$ の部分になる。

長方形$$[a,b]\times [f(a),f(b)]$$を考えると、$f$ の下側の面積と、反転後の $g$ の下側の面積を組み替えたものは、右上までの積から左下までの積を引いた$$bf(b)-af(a)$$に等しい。境界を積分で表せば$${\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_{f(a)}^{f(b)}g(x)dx=bf(b)-af(a)$$を得る。これは逆関数の面積公式の図形的証明である。