東北大学 2000年度 前期日程理系数学 第1問

(1) $K^2=E$、$EK=KE=K$ であるから $$(aE+bK{)}^2=a^{2}E+abK+baK+b^2{K}^2=(a^2+b^2)E+2abK$$ である。したがって $p=a^2+b^2,q=2ab$ でなければならない。このとき $$p+q=(a+b{)}^2\geqq 0,p-q=(a-b{)}^2\geqq 0$$ であるから $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ が必要である。

逆に $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ とする。このとき $p+q\geqq 0$、$p-q\geqq 0$ なので $$a+b=\sqrt{p+q},a-b=\sqrt{p-q}$$ を満たす実数 $a,b$ を取ることができる。この $a,b$ について $a^2+b^2=p,2ab=q$ が成り立つ。よって必要十分条件は $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ である。

(2)
第1の式 $(aE+bK{)}^2=pE+qK$ に対して(1)を用いると $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ である。第2の式 $(cE+dK{)}^2=qE-pK$ に対して(1)を用いると、$E$ の係数が $q$、$K$ の係数が $-p$ だから $q\geqq \mathrm{\mid }-p\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }$ である。

前者から $p\geqq 0$、後者から $q\geqq 0$ である。また $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ より $p\geqq q$、$q\geqq \mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }$ より $q\geqq p$ なので $p=q\geqq 0$ となる。さらに $p^2+q^2=2$ より $2p^2=2$ であるから、$p\geqq 0$ に注意して $p=q=1$ を得る。

$E+K$ と $E-K$ を同時固有方向として用い、平方根の存在を2つの実数の平方条件へ分解する。

(1) $$U={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$とおくと$$U^{-1}KU=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)\mathrm{.}$$したがって$$U^{-1}(aE+bK{)}^{2}U=\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^2& 0\\ 0& (a-b{)}^2\end{array}\right),$$一方$$U^{-1}(pE+qK)U=\left(\begin{array}{cc}p+q& 0\\ 0& p-q\end{array}\right)\mathrm{.}$$よって実数 $a,b$ が存在するための必要十分条件は$$p+q\geqq 0,p-q\geqq 0,$$すなわち $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$ である。

(2)
第1の平方根の存在から $p\geqq \mathrm{\mid }q\mathrm{\mid }$、第2の平方根の存在から$$q\geqq \mathrm{\mid }-p\mathrm{\mid }=\mathrm{\mid }p\mathrm{\mid }$$を得る。したがって $p,q\geqq 0$ かつ $p=q$ である。$$p^2+q^2=2$$へ代入すると $2p^2=2$ なので$$p=q=1.$$