東北大学 1999年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1) $$u=\tan \alpha ,v=\tan \beta$$ とおく。$$0^{\circ }<\alpha ,\beta <{90}^{\circ }$$ なので $u>0,v>0$ であり、条件は $u+2v=3$ である。

また $${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=1+u^2,{\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\beta }}=1+v^2$$ であり、$${\displaystyle \frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}={\displaystyle \frac{\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}=1+uv$$である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle T}& {\displaystyle =(1+u^2)+4(1+v^2)+4(1+uv)}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+u^2+4uv+4v^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+(u+2v{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =9+3^2=18.}\end{array}$$よって $T=18$ である。

(2) $$L={\displaystyle \frac{1}{\cos \alpha }}+{\displaystyle \frac{2}{\cos \beta }}=\sqrt{1+u^2}+2\sqrt{1+v^2}$$ であり、$u+2v=3$ である。$u=3-2v$ とおくと、$0<v<3\mathrm{/}2$ で $$L(v)=\sqrt{1+(3-2v{)}^2}+2\sqrt{1+v^2}$$ である。微分すると $$L^{\mathrm{\prime }}(v)=-2{\displaystyle \frac{3-2v}{\sqrt{1+(3-2v{)}^2}}}+2{\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}}$$ である。内部で最小をとる点では $L^{\mathrm{\prime }}(v)=0$ だから $${\displaystyle \frac{3-2v}{\sqrt{1+(3-2v{)}^2}}}={\displaystyle \frac{v}{\sqrt{1+v^2}}}$$ である。両辺は正なので、両辺を2乗して整理すると $$(3-2v{)}^2(1+v^2)=v^2\{1+(3-2v{)}^2\}$$ となり、$(3-2v{)}^2=v^2$ である。$3-2v>0,v>0$ より $3-2v=v$ であり、$u=v=1$ を得る。

このとき $$L=\sqrt{2}+2\sqrt{2}=3\sqrt{2}$$ である。端に近づくと、$v\to 0$ では $$L\to \sqrt{10}+2$$、$v\to 3\mathrm{/}2$ では $L\to 1+\sqrt{13}$ であり、いずれも $3\sqrt{2}$ より大きい。したがって最小値は $3\sqrt{2}$ である。 $u=v=1$ だから $\tan \alpha =\tan \beta =1$ であり、角はともに第1象限なので $\alpha =\beta ={45}^{\circ }$ である。

(2) は2本のベクトルの三角不等式として評価する。等号条件が角度も同時に決める。

$u=\tan \alpha >0$、$v=\tan \beta >0$ とおくと$$u+2v=3.$$(1)$${\displaystyle \frac{1}{{\cos }^2\alpha }}=1+u^2,{\displaystyle \frac{\cos (\alpha -\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}=1+uv$$だから$$T=1+u^2+4(1+v^2)+4(1+uv)=9+(u+2v{)}^2=18.$$(2)$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L}& {\displaystyle =\sqrt{1+u^2}+2\sqrt{1+v^2}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\parallel (1,u)\parallel +\parallel (2,2v)\parallel }\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq \parallel (3,u+2v)\parallel =3\sqrt{2}\mathrm{.}}\end{array}$$等号は $(1,u)$ と $(2,2v)$ が同方向、すなわち $u=v$ のときである。条件と合わせて $u=v=1$。よって$$L_{\min }=3\sqrt{2},\alpha =\beta ={45}^{\circ }\mathrm{.}$$