東北大学 2001年度 後期日程理系（後期）数学 第5問

(1)

曲線は $$y={\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2a}}$$ である。右辺は $x$ を $-x$ に変えても変わらないので、グラフは $y$ 軸に関して対称である。

導関数は $$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}}$$ である。したがって $x<0$ では $y^{\mathrm{\prime }}<0$、$x>0$ では $y^{\mathrm{\prime }}>0$ であり、$x=0$ で最小となる。最小点は $(0,{\displaystyle \frac{1}{a}})$ である。

また $$y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{ax}+e^{-ax})>0$$ なので、グラフは下に凸である。よって概形は、$y$ 軸対称で、$(0,1\mathrm{/}a)$ を最小点とする下に凸の曲線である。

(2)

弧長公式より $$L(a)={\int }_{-1}^1\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}dx$$ である。ここで$$1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2=1+{\left({\displaystyle \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}}\right)}^2={\left({\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}\right)}^2$$である。したがって $$\sqrt{1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2}={\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}$$ である。

よって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\left[{\displaystyle \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2a}}\right]}_{-1}^1}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{a}}\mathrm{.}}\end{array}$$したがって $$L(a)={\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{a}}$$ である。

(3)

(2) より $$L(a)={\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{a}}(a>0)$$ である。微分すると $$L^{\mathrm{\prime }}(a)={\displaystyle \frac{a(e^a+e^{-a})-(e^a-e^{-a})}{a^2}}$$ である。

分子を $$\varphi (a)=a(e^a+e^{-a})-(e^a-e^{-a})$$ とおく。すると $${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)=e^a+e^{-a}+a(e^a-e^{-a})-(e^a+e^{-a})=a(e^a-e^{-a})$$ である。$a>0$ では $e^a>e^{-a}$ なので ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ である。また $\varphi (a)$ は $a=0$ で0に近づくので、$a>0$ で $\varphi (a)>0$ である。したがって $L^{\mathrm{\prime }}(a)>0$ となり、$L(a)$ は $a$ の単調増加関数である。

双曲線関数の記号を使わず、対称な指数関数として扱う。
弧長の被積分関数を簡単化した後、その被積分関数自体が
$a$ とともに増えることから単調性を示す。

(1)

関数は偶関数で$$y^{\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{e^{ax}-e^{-ax}}{2}},y^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}={\displaystyle \frac{a}{2}}(e^{ax}+e^{-ax})>0.$$したがって $y$ 軸対称、$(0,1\mathrm{/}a)$ で最小となる下に凸の曲線である。

(2) $$1+(y^{\mathrm{\prime }}{)}^2={\left({\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}\right)}^2$$だから$$\begin{array}{rl}{\displaystyle L(a)}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^1{\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{e^a-e^{-a}}{a}}\mathrm{.}}\end{array}$$(3)

対称性から$$L(a)=2{\int }_0^1{\displaystyle \frac{e^{ax}+e^{-ax}}{2}}dx\mathrm{.}$$$x>0,a>0$ に対し、被積分関数を $a$ で微分すると$${\displaystyle \frac{x}{2}}(e^{ax}-e^{-ax})>0.$$したがって各 $x\in (0,1]$ で被積分関数は $a$ とともに増加する。
よってその積分 $L(a)$ も $a>0$ で単調増加する。