東北大学 2004年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第2問

(1)
まず $$B=\left(\begin{array}{cc}u& v\\ w& r\end{array}\right)$$ とおく。$B^2=-E$ の非対角成分から $$v(u+r)=0,w(u+r)=0$$ が得られ、対角成分の差から $(u-r)(u+r)=0$ が得られる。もし $u+r\mathrm{\ne }0$ なら、上の式より $v=w=0$ かつ $u=r$ となるが、このとき対角成分は $u^2=-1$ となり、実数では不可能である。したがって $u+r=0$ である。つまり、$B$ の対角成分の和は0である。 $A=sE+tB$ の対角成分の和を比べると、$B$ の対角成分の和が0だから $a+d=2s$ である。よって $$s={\displaystyle \frac{a+d}{2}}$$ である。

次に$$M=A-sE=\left(\begin{array}{cc}{\displaystyle \frac{a-d}{2}}& b\\ c& {\displaystyle \frac{d-a}{2}}\end{array}\right)$$とおくと、$M=tB$ であるから $M^2=t^2{B}^2=-t^{2}E$ である。一方、$\alpha =(a-d)\mathrm{/}2$ とおけば$$M=\left(\begin{array}{cc}\alpha & b\\ c& -\alpha \end{array}\right)$$であり、直接計算して $M^2=({\alpha }^2+bc)E$ となる。したがって ${\alpha }^2+bc=-t^2$ である。すなわち $$t^2=-\{{\displaystyle \frac{(a-d{)}^2}{4}}+bc\}=-{\displaystyle \frac{(a-d{)}^2+4bc}{4}}$$ である。$t$ は正の実数なので右辺は正であり、$(a-d{)}^2+4bc<0$ が成り立つ。また $$t={\displaystyle \frac{1}{2}}\sqrt{-(a-d{)}^2-4bc}$$ である。

(2)
実数係数の2次方程式が $s+it$ を解にもつなら、$s-it$ も解にもつ。したがってその方程式は $(x-(s+it))(x-(s-it))=0$ すなわち $x^2-2sx+s^2+t^2=0$ である。よって $p=-2s=-(a+d)$ である。また $$q=s^2+t^2={\displaystyle \frac{(a+d{)}^2}{4}}-{\displaystyle \frac{(a-d{)}^2+4bc}{4}}=ad-bc$$ である。したがって $$p=-(a+d),q=ad-bc$$ である。

条件・検算

実行列 $B$ の跡が0であることを例外なく示し、$t>0$ により平方根の符号を確定した。