東北大学 2003年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $$f(x)=(x+1)\log {\displaystyle \frac{x+1}{x}}=(x+1)\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})$$ である。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})+(x+1)\cdot {\displaystyle \frac{1}{1+1\mathrm{/}x}}(-{\displaystyle \frac{1}{x^2}})}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})-{\displaystyle \frac{1}{x}}\mathrm{.}}\end{array}$$ここで $u={\displaystyle \frac{1}{x}}>0$ とおくと $f^{\mathrm{\prime }}(x)=\log (1+u)-u$ である。$u>0$ に対して $\log (1+u)<u$ が成り立つので $f^{\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $f(x)$ は $x>0$ で単調減少である。

(2) $x\to +0$ のとき $${\displaystyle \frac{x+1}{x}}=1+{\displaystyle \frac{1}{x}}\to +\mathrm{\infty }$$ である。また $x+1\to 1$ なので$$\underset{x\to +0}{\lim }f(x)=+\mathrm{\infty }$$である。

次に $x\to +\mathrm{\infty }$ を考える。$u=1\mathrm{/}x$ とおくと $u\to +0$ であり、$$f(x)=(x+1)\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})={\displaystyle \frac{1+u}{u}}\log (1+u)$$ である。したがって$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\underset{u\to +0}{\lim }(1+u){\displaystyle \frac{\log (1+u)}{u}}=1$$である。

(3)

関数 $f$ は $x>0$ で連続である。まず $f(1)=2\log 2$ であり、$e>2$ から $e^2>4$、すなわち $2\log 2<2$ なので $f(1)<2$ である。

次に $x=e^{-2}$ とすると $$f(e^{-2})=(1+e^{-2})\log (1+e^2)$$ である。ここで $1+e^2>e^2$ だから $\log (1+e^2)>2$ である。よって $f(e^{-2})>2(1+e^{-2})>2$ である。

したがって $f(e^{-2})>2>f(1)$ である。連続性より、方程式 $f(x)=2$ を満たす $x$ が ${\displaystyle \frac{1}{e^2}}<x<1$ の範囲に少なくとも1つ存在する。

【単調減少と値2の交点】

対数を積分表示$$\log (1+1\mathrm{/}x)={\int }_0^1(x+t{)}^{-1}dt$$に直す。この表示を使うと単調性は被積分関数の微分の符号から、無限遠の極限は一様な評価から得られる。最後は端点で2をはさみ中間値を用いる。

(1) $$\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})={\int }_0^1{\displaystyle \frac{dt}{x+t}}$$だから$$f(x)={\int }_0^1{\displaystyle \frac{x+1}{x+t}}dt\mathrm{.}$$被積分関数を $x$ で微分すると$${\displaystyle \frac{\mathrm{\partial }}{\mathrm{\partial }x}}\left({\displaystyle \frac{x+1}{x+t}}\right)={\displaystyle \frac{t-1}{(x+t{)}^2}}\leqq 0$$であり、$0\leqq t<1$ では厳密に負である。よって $f$ は $x>0$ で単調減少する。

(2)
$x\to +0$ では$$f(x)=(x+1)\log (1+{\displaystyle \frac{1}{x}})\to +\mathrm{\infty }\mathrm{.}$$一方$${\displaystyle \frac{x+1}{x+t}}=1+{\displaystyle \frac{1-t}{x+t}}$$は $x\to +\mathrm{\infty }$ で $[0,1]$ 上一様に1へ近づく。したがって$$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }f(x)={\int }_0^{1}1dt=1.$$(3)$$f(1)=2\log 2<2$$である。また$$f(e^{-2})=(1+e^{-2})\log (1+e^2)>2.$$$f$ は連続だから、中間値の定理により$${\displaystyle \frac{1}{e^2}}<x<1$$に $f(x)=2$ の解が存在する。さらに(1)より、この解は一意である。