東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第6問

(1) $u=\cos x$ とおく。$0\leqq x\leqq \pi$ で $x$ が増加すると、$u$ は1から $-1$ へ減少する。また $$\cos 2x=2{\cos }^{2}x-1=2u^2-1$$ であるから $$f(x)={\displaystyle \frac{2u^2-3}{au+1}}$$ である。これを $$g(u)={\displaystyle \frac{2u^2-3}{au+1}}$$ とおく。$0<a<1$、$-1\leqq u\leqq 1$ だから $au+1\geqq 1-a>0$ である。 $x$ が増加すると $u$ は減少するので、$f(x)$ が $x$ について減少するためには、$g(u)$ が $u$ について増加すればよい。微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g^{\mathrm{\prime }}(u)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4u(au+1)-a(2u^2-3)}{(au+1{)}^2}}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{2a{u}^2+4u+3a}{(au+1{)}^2}}}\end{array}$$である。分母は正なので、必要十分条件は $$2a{u}^2+4u+3a\geqq 0(-1\leqq u\leqq 1)$$ である。 $N(u)=2a{u}^2+4u+3a$ とおく。この2次式は上に開き、頂点の $u$ 座標は $$-{\displaystyle \frac{4}{4a}}=-{\displaystyle \frac{1}{a}}$$ である。$0<a<1$ より $-1\mathrm{/}a<-1$ なので、区間 $[-1,1]$ では $N(u)$ は増加する。したがって最小値は $u=-1$ でとり、$N(-1)=2a-4+3a=5a-4$ である。よって条件は $5a-4\geqq 0$ である。したがって求める範囲は ${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq a<1$ である。

(2) $f(0)$ は $u=\cos 0=1$ のときの値なので $$f(0)=g(1)={\displaystyle \frac{2-3}{a+1}}=-{\displaystyle \frac{1}{a+1}}$$ である。任意の $-1\leqq u\leqq 1$ に対して $g(u)\leqq g(1)$ を示せばよい。

分母 $au+1$ と $a+1$ はどちらも正であるから、$${\displaystyle \frac{2u^2-3}{au+1}}\leqq -{\displaystyle \frac{1}{a+1}}$$ は $$(a+1)(2u^2-3)\leqq -(au+1)$$ と同値である。整理すると $2(a+1)u^2+au-3a-2\leqq 0$ である。

左辺を $G(u)=2(a+1)u^2+au-3a-2$ とおく。これは下に開くのではなく上に開く2次式なので、閉区間 $[-1,1]$ における最大値は端点のどちらかでとる。端点での値は $G(1)=2(a+1)+a-3a-2=0$ および $$G(-1)=2(a+1)-a-3a-2=-2a<0$$ である。したがって $-1\leqq u\leqq 1$ で $G(u)\leqq 0$ が成り立つ。これは $g(u)\leqq g(1)$ を意味する。よって $$f(x)=g(\cos x)\leqq g(1)=f(0)$$ であり、$0\leqq x\leqq \pi$ における最大値は $f(0)$ である。

条件・検算

$0<a<1$ なので分母 $a\cos x+1$ は区間全体で正である。単調性の条件と最大値の主張は適用範囲が異なり、後者はすべての $0<a<1$ で成立する。

$u=\cos x$ とし、微分せずに $g(v)-g(u)$ を因数分解する。区間 $[-1,1]$ で残る因子の最小値を端点から評価し、単調性と最大値を同時に確認する。

(1) $$g(u)={\displaystyle \frac{2u^2-3}{au+1}}(-1\leqq u\leqq 1)$$とおく。$u<v$ に対して$$\begin{array}{rl}{\displaystyle g(v)-g(u)}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{(v-u)H(u,v)}{(au+1)(av+1)}},}\\ {\displaystyle H(u,v)}& {\displaystyle =2auv+2(u+v)+3a}\end{array}$$であり、分母と $v-u$ は正である。また
$2av+2\geqq 2(1-a)>0$、$2au+2\geqq 2(1-a)>0$ より、
$H$ は各変数について増加し、最小値は
$H(-1,-1)=5a-4$ である。ゆえに $g$ が増加する必要十分条件は
$a\geqq {\displaystyle \frac{4}{5}}$ である。$x$ が増加すると $\cos x$ は減少するので$${\displaystyle \frac{4}{5}}\leqq a<1.$$(2)

一方、任意の $0<a<1$ について$$g(u)-g(1)={\displaystyle \frac{(u-1)\{2(a+1)u+3a+2\}}{(au+1)(a+1)}}\mathrm{.}$$$-1\leqq u\leqq 1$ では $u-1\leqq 0$ かつ
$2(a+1)u+3a+2\geqq a>0$ だから $g(u)\leqq g(1)$、
すなわち $f(x)\leqq f(0)$ である。