東北大学 2005年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第4問

右側、すなわち $x>0$ の枝 $y=x^2-x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ との接点の $x$ 座標を $p$ とする。また左側、すなわち $x\leqq 0$ の枝 $y=x^2+2x+{\displaystyle \frac{3}{4}}$ との接点の $x$ 座標を $q$ とする。

右側の接点では、値と微分係数が等しいので $2ap+b=2p-1$ かつ $$a{p}^2+bp+c=p^2-p+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。左側の接点では $2aq+b=2q+2$ かつ $$a{q}^2+bq+c=q^2+2q+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ である。

まず傾きの2式を引くと $2a(p-q)=2(p-q)-3$ である。したがって $2(a-1)(p-q)=-3$ より $$p-q=-{\displaystyle \frac{3}{2(a-1)}}={\displaystyle \frac{3}{2(1-a)}}$$ である。また傾きの2式から $b=2p-1-2ap=2(1-a)p-1$ であり、同時に $b=2q+2-2aq=2(1-a)q+2$ である。これらを合わせると $2(1-a)(p-q)=3$ となり、上と一致する。さらに $2(1-a)p-1=2(1-a)q+2$ から $p+q=0$ が分かる。よって $$p={\displaystyle \frac{3}{4(1-a)}},q=-{\displaystyle \frac{3}{4(1-a)}}$$ である。

傾きの式に代入すると $$b=2(1-a)p-1={\displaystyle \frac{3}{2}}-1={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。値の一致式から $$c=p^2-p+{\displaystyle \frac{3}{4}}-a{p}^2-bp=(1-a)p^2-{\displaystyle \frac{3}{2}}p+{\displaystyle \frac{3}{4}}$$ であり、$p=3\mathrm{/}\{4(1-a)\}$ を代入して $$c={\displaystyle \frac{3(4a-1)}{16(a-1)}}$$ を得る。

次に面積を求める。右側では、$C_2-C_1$ は2次式で、接点 $x=p$ で重解をもつ。また $x^2$ の係数は $1-a$ である。したがって $$C_2-C_1=(1-a)(x-p{)}^2(0\leqq x\leqq p)$$ である。同様に左側では $$C_2-C_1=(1-a)(x-q{)}^2(q\leqq x\leqq 0)$$ である。ここで $a<0$ なので $1-a>0$ であり、これらは面積の被積分関数としてそのまま使える。

したがって囲まれた図形の面積 $S$ は $$S={\int }_q^0(1-a)(x-q{)}^{2}dx+{\int }_0^p(1-a)(x-p{)}^{2}dx$$ である。$q=-p$ だから $$S=2(1-a){\int }_0^p(p-x{)}^{2}dx$$ であり、$$S=2(1-a)\cdot {\displaystyle \frac{p^3}{3}}$$ となる。$p=3\mathrm{/}\{4(1-a)\}$ を代入して $$S={\displaystyle \frac{2(1-a)}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{27}{64(1-a{)}^3}}={\displaystyle \frac{9}{32(1-a{)}^2}}$$ である。よって $$S={\displaystyle \frac{9}{32(1-a{)}^2}}$$ である。

条件・検算

接点は $q<0<p$ を満たし、区分の境界 $x=0$ をまたぐ。差が接点を重解にもつことにより、被積分関数の符号と上側曲線が自動的に確認できる。