東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第1問

(1)

放物線 $C:y=x^2$ 上の点を $(x,x^2)$ とおく。この点と $A(0,a)$ との距離の2乗を $F(x)=x^2+(x^2-a{)}^2$ とおく。距離を最小にする点は、距離の2乗 $F(x)$ を最小にする点と同じである。

微分すると $$F^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+2(x^2-a)\cdot 2x=2x(1+2x^2-2a)$$ である。したがって停留点は $x=0$ または $x^2=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ を満たす点である。 $a\leqq 1\mathrm{/}2$ のとき、$$x^2=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ は実数解をもたず、停留点は $x=0$ だけである。この場合、最小点は1つである。$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のときは $$r=\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}>0$$ として、停留点は $x=0,x=\pm r$ である。このとき $x=0$ は極大側の点で、$x=\pm r$ が対称な2つの最小点になる。実際、$\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }$ が大きいと $F(x)\to \mathrm{\infty }$ であり、$F^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は$$-(-\mathrm{\infty },-r),+(-r,0),-(0,r),+(r,\mathrm{\infty })$$と変わる。

したがって、このような点が2つ存在するための条件は $a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

(2) $$r=\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$ とおくと、2つの最小点は $$P=(r,r^2),Q=(-r,r^2)$$ である。ただし $r^2=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$ である。

右側の線分 $AP$ の方程式を求める。$A=(0,a)$、$P=(r,r^2)$ だから、傾きは $${\displaystyle \frac{r^2-a}{r}}={\displaystyle \frac{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}-a}{r}}=-{\displaystyle \frac{1}{2r}}$$ である。したがって $$y=a-{\displaystyle \frac{x}{2r}}$$ である。

図形は $y$ 軸に関して対称なので、求める面積は右半分を2倍して $$2{\int }_0^r(a-{\displaystyle \frac{x}{2r}}-x^2)dx$$ である。計算すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2{\int }_0^r(a-{\displaystyle \frac{x}{2r}}-x^2)dx}& {\displaystyle =2{[ax-{\displaystyle \frac{x^2}{4r}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =2(ar-{\displaystyle \frac{r}{4}}-{\displaystyle \frac{r^3}{3}})}\end{array}$$である。ここで $$a=r^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ だから$$2(ar-{\displaystyle \frac{r}{4}}-{\displaystyle \frac{r^3}{3}})=2(r^3+{\displaystyle \frac{r}{2}}-{\displaystyle \frac{r}{4}}-{\displaystyle \frac{r^3}{3}})={\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}r$$である。

よって面積は$$\{{\displaystyle \frac{4}{3}}(a-{\displaystyle \frac{1}{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{8a-1}{6}}\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$である。したがって ${\displaystyle \frac{8a-1}{6}}\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$ である。

条件・検算$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき $x=0$ は局所最大で、$\pm r$ が全体最小である。面積積分では線分が放物線より上にあることを端点と下に凸な差から確認できる。

距離の2乗を $u=x^2\geqq 0$ の2次式として平方完成する。最小となる $u$ が正なら $x=\pm \sqrt{u}$ の2点、0なら1点になる。

(1)

距離の2乗は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle F(x)}& {\displaystyle =x^2+(x^2-a{)}^2}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={(x^2-a+{\displaystyle \frac{1}{2}})}^2+a-{\displaystyle \frac{1}{4}}\mathrm{.}}\end{array}$$$u=x^2\geqq 0$ と見れば、平方の部分が最小になるのは$$u=a-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$である。これが正のときだけ $x$ は正負の2値をとるので、条件は$$a>{\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{.}$$(2)$$r=\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}$$ とすると最小点は$$P=(r,r^2),Q=(-r,r^2)\mathrm{.}$$右側の線分 $AP$ は$$y=a-{\displaystyle \frac{x}{2r}}$$である。対称性より面積は$$\begin{array}{rl}{\displaystyle 2{\int }_0^r(a-{\displaystyle \frac{x}{2r}}-x^2)dx}& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{4}{3}}{r}^3+{\displaystyle \frac{1}{2}}r}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\displaystyle \frac{8a-1}{6}}\sqrt{a-{\displaystyle \frac{1}{2}}}\mathrm{.}}\end{array}$$