東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

(1)

点 $(x,x^2)$ と $P(a,4a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})$ との距離の2乗を $$H(x)=h(x{)}^2=(x-a{)}^2+{(x^2-4a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$ とおく。距離 $h(x)$ を最小にする $x$ は、$H(x)$ を最小にする $x$ と同じである。

微分すると$$\begin{array}{rl}{\displaystyle H^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =2(x-a)+2(x^2-4a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})\cdot 2x}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =4x^3+(1-16a^2)x-2a}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =(x-2a)(4x^2+8ax+1)}\end{array}$$である。

ここで $\mathrm{\mid }a\mathrm{\mid }\leqq 1\mathrm{/}2$ のとき、2次式 $4x^2+8ax+1$ の判別式は $$(8a{)}^2-4\cdot 4\cdot 1=16(4a^2-1)\leqq 0$$ である。係数 $4$ は正なので $4x^2+8ax+1\geqq 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つ。したがって $H^{\mathrm{\prime }}(x)$ の符号は $x-2a$ の符号で決まり、$H(x)$ は $x=2a$ で最小値をとる。

よって $x_0=2a$ である。このとき $(x_0,x_0^2)=(2a,4a^2)$ なので、$P$ との差は $$(2a-a,4a^2-(4a^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}))=(a,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$ である。したがって $$h(x_0)=\sqrt{a^2+{\displaystyle \frac{1}{16}}}={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{16a^2+1}$$ である。ゆえに $$h(x_0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{16a^2+1}$$ である。

(2) $$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ のとき $$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}})$$ であり、(1)より $x_0=1$ だから $Q=(1,1)$ である。線分 $PQ$ の傾きは $${\displaystyle \frac{1-{\displaystyle \frac{5}{4}}}{1-{\displaystyle \frac{1}{2}}}}=-{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ なので、その方程式は $$y={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}$$ である。

求める図形は、$0\leqq x\leqq 1\mathrm{/}2$ では上側が $$C_1:y=4x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}$$、下側が $C_2:y=x^2$ である。また $${\displaystyle \frac{1}{2}}\leqq x\leqq 1$$ では、上側が線分 $PQ$、下側が $C_2$ である。したがって面積 $S$ は$$S={\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(4x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}}-x^2)dx+{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^1({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}-x^2)dx$$である。

第1項は$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(3x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})dx={[x^3+{\displaystyle \frac{x}{4}}]}_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{8}}={\displaystyle \frac{1}{4}}$$である。第2項は$${[{\displaystyle \frac{3}{2}}x-{\displaystyle \frac{x^2}{4}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^1={\displaystyle \frac{13}{48}}$$である。よって $$S={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{13}{48}}={\displaystyle \frac{25}{48}}$$ である。したがって ${\displaystyle \frac{25}{48}}$ である。

条件・検算

因数分解 $H(x)-H(2a)$ は候補点が全体最小であることを直接示す。面積は $$x={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ で上側境界が $C_1$ から線分 $PQ$ へ切り替わる。

距離の2乗 $H(x)$ と候補 $x=2a$ での値との差を因数分解し、微分せずに全体最小を示す。後半は標準解法と同じ境界分割で面積を確認する。

(1)

距離の2乗を$$H(x)=(x-a{)}^2+{(x^2-4a^2-{\displaystyle \frac{1}{4}})}^2$$とする。直接整理すると$$H(x)-H(2a)=(x-2a{)}^2\{(x+2a{)}^2+{\displaystyle \frac{1}{2}}\}\mathrm{.}$$右辺は常に0以上で、等号は $x=2a$ のときだけである。したがって$$x_0=2a\mathrm{.}$$このとき座標差は$$(a,-{\displaystyle \frac{1}{4}})$$だから$$h(x_0)={\displaystyle \frac{1}{4}}\sqrt{16a^2+1}\mathrm{.}$$(2)$$a={\displaystyle \frac{1}{2}}$$ では$$P=({\displaystyle \frac{1}{2}},{\displaystyle \frac{5}{4}}),Q=(1,1),$$線分 $PQ$ は$$y={\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}\mathrm{.}$$よって面積は$${\int }_0^{{\displaystyle \frac{1}{2}}}(3x^2+{\displaystyle \frac{1}{4}})dx+{\int }_{{\displaystyle \frac{1}{2}}}^1({\displaystyle \frac{3}{2}}-{\displaystyle \frac{x}{2}}-x^2)dx={\displaystyle \frac{25}{48}}\mathrm{.}$$