東北大学 2005年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第2問

(1)

放物線 $y=a(x-b{)}^2+c$ が原点を通るので $0=a{b}^2+c$ である。また、この放物線の導関数は $y^{\mathrm{\prime }}=2a(x-b)$ であるから、原点での接線の傾きは $-2ab$ である。直線 $l$ の傾きは $m$ なので $-2ab=m$ である。$m\mathrm{\ne }0$ より $b\mathrm{\ne }0$ であり、$$a=-{\displaystyle \frac{m}{2b}}$$ となる。これを $a{b}^2+c=0$ に代入して $$c=-a{b}^2=-(-{\displaystyle \frac{m}{2b}})b^2={\displaystyle \frac{mb}{2}}$$ である。したがって $$c={\displaystyle \frac{mb}{2}}$$ である。

(2)

直線 $l:y=mx$ に原点で垂直に交わる直線は $l^{\mathrm{\prime }}:y=-{\displaystyle \frac{1}{m}}x$ である。一方、(1)より放物線は $$y=-{\displaystyle \frac{m}{2b}}(x-b{)}^2+{\displaystyle \frac{mb}{2}}$$ である。展開すると $$y=-{\displaystyle \frac{m}{2b}}{x}^2+mx$$ である。

したがって $l^{\mathrm{\prime }}$ との交点は $$-{\displaystyle \frac{x}{m}}=-{\displaystyle \frac{m}{2b}}{x}^2+mx$$ を満たす。両辺を整理して $$0=-{\displaystyle \frac{m}{2b}}{x}^2+(m+{\displaystyle \frac{1}{m}})x$$ である。これは $$x\{-{\displaystyle \frac{m}{2b}}x+{\displaystyle \frac{m^2+1}{m}}\}=0$$ と書ける。

一つの解 $x=0$ は原点である。原点以外の交点では $$-{\displaystyle \frac{m}{2b}}x+{\displaystyle \frac{m^2+1}{m}}=0$$ だから $$x={\displaystyle \frac{2b(m^2+1)}{m^2}}=2b+{\displaystyle \frac{2b}{m^2}}$$ である。$l^{\mathrm{\prime }}$ 上の点なので $$y=-{\displaystyle \frac{x}{m}}=-{\displaystyle \frac{2b}{m}}-{\displaystyle \frac{2b}{m^3}}$$ である。したがって求める交点は $(2b+{\displaystyle \frac{2b}{m^2}},-{\displaystyle \frac{2b}{m}}-{\displaystyle \frac{2b}{m^3}})$ である。

条件・検算

$m\mathrm{\ne }0$ から $b\mathrm{\ne }0$ が従い、途中の除算は正当である。得た原点以外の交点を放物線と垂線の両方へ代入して検算できる。

原点を通り、そこで傾き $m$ をもつ2次関数を $y=mx+\lambda x^2$ と書く。これを頂点形式と比較して係数を決め、垂線との交点を求める。

(1)

原点を通り、原点での接線が $y=mx$ である放物線は$$y=mx+\lambda x^2$$と書ける。一方$$a(x-b{)}^2+c=a{x}^2-2abx+a{b}^2+c$$だから$$\lambda =a,-2ab=m,a{b}^2+c=0.$$よって$$c=-a{b}^2={\displaystyle \frac{mb}{2}}\mathrm{.}$$(2)

また $a=-m\mathrm{/}(2b)$ なので$$P:y=mx-{\displaystyle \frac{m}{2b}}{x}^2\mathrm{.}$$垂線は$$l^{\mathrm{\prime }}:y=-{\displaystyle \frac{x}{m}}\mathrm{.}$$両式を等置すると$$x\{-{\displaystyle \frac{m}{2b}}x+{\displaystyle \frac{m^2+1}{m}}\}=0.$$原点以外の解は$$x={\displaystyle \frac{2b(m^2+1)}{m^2}},y=-{\displaystyle \frac{2b(m^2+1)}{m^3}}\mathrm{.}$$したがって交点は$$(2b+{\displaystyle \frac{2b}{m^2}},-{\displaystyle \frac{2b}{m}}-{\displaystyle \frac{2b}{m^3}})\mathrm{.}$$