東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第3問

曲線 $y=x^3-x$ の $x=t$ における傾きは $3t^2-1$ である。接点は $(t,t^3-t)$ なので，接線の方程式は $y-(t^3-t)=(3t^2-1)(x-t)$ である。整理すると $y=(3t^2-1)x-2t^3$ となる。

この接線が点 $(a,b)$ を通る条件は $b=(3t^2-1)a-2t^3$ であり，移項して $2t^3-3a{t}^2+a+b=0$ を得る。したがって，点 $(a,b)$ から引ける接線の本数は，この $t$ の3次方程式の相異なる実数解の個数で決まる。

接線がちょうど2本だけ引けるためには，この3次方程式が重解 $r$ と，それとは異なる単解 $s$ をもつ必要がある。そこで $$2t^3-3a{t}^2+a+b=2(t-r{)}^2(t-s)$$ とおく。右辺を展開すると $$2(t-r{)}^2(t-s)=2t^3-2(s+2r)t^2+2r(2s+r)t-2r^{2}s$$ である。係数を比較して，$t$ の係数から $2r(2s+r)=0$ すなわち $$r=0\text{または}2s+r=0$$ である。

まず $r=0$ の場合を考える。係数比較より $3a=2s,a+b=0$ であるから $$a={\displaystyle \frac{2s}{3}},b=-a$$ である。2本の接線の接点は $t=0$ と $t=s$ であり，傾きはそれぞれ $-1,3s^2-1$ である。これらが直交する条件は，傾きの積が $-1$ であることなので $(-1)(3s^2-1)=-1$ である。よって $$3s^2-1=1,s^2={\displaystyle \frac{2}{3}}$$ となる。したがって $$s=\pm \sqrt{{\displaystyle \frac{2}{3}}}$$ であり，$$a={\displaystyle \frac{2s}{3}}=\pm {\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}},b=-a$$ である。

次に $2s+r=0$ の場合を考える。このとき $s=-r\mathrm{/}2$ であり，係数比較から $a=r,b=r^3-r$ となる。2本の接線の傾きは $$3r^2-1,3{(-{\displaystyle \frac{r}{2}})}^2-1={\displaystyle \frac{3r^2}{4}}-1$$ である。直交条件は $$(3r^2-1)({\displaystyle \frac{3r^2}{4}}-1)=-1$$ である。$u=r^2$ とおくと $$(3u-1)({\displaystyle \frac{3u}{4}}-1)=-1$$ であり，整理して $9u^2-15u+8=0$ となる。この判別式は $$(-15{)}^2-4\cdot 9\cdot 8=225-288=-63<0$$ なので，実数 $u$ は存在しない。したがってこの場合は不適である。

以上より求める点は$${\displaystyle ({\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}},-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}}),(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}})}$$である。

接線の本数を接点の方程式の相異なる実根数へ翻訳し、最後に直交条件を課す。

接点を決める3次式が相異なる2実根をもつためには重解が必要である。3次式とその導関数の共通根を先に求め、候補を2場合に絞って直交条件を課す。

接点の $x$ 座標を $t$ とすると、点 $(a,b)$ を通る接線の条件は$$\mathrm{\Phi }(t)=2t^3-3a{t}^2+a+b=0$$である。接線がちょうど2本なら、$\mathrm{\Phi }$ は重解 $r$ と、それと異なる単解をもつ。重解は ${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(r)=0$ も満たすが$${\mathrm{\Phi }}^{\mathrm{\prime }}(t)=6t(t-a)$$なので$$r=0\text{または}r=a$$である。

重解が $r=0$ の場合

$\mathrm{\Phi }(0)=0$ より $a+b=0$ である。また$$\mathrm{\Phi }(t)=t^2(2t-3a)$$なので、もう一つの接点は $s=3a\mathrm{/}2$ である。2本の接線の傾きは$$-1,3s^2-1$$だから、直交条件より$$(-1)(3s^2-1)=-1.$$よって $s^2=2\mathrm{/}3$、$a=2s\mathrm{/}3$、$b=-a$ である。

重解が $r=a$ の場合

$\mathrm{\Phi }(a)=0$ より $b=a^3-a$ である。根の和から、他の根は $s=-a\mathrm{/}2$ となる。2接線の傾きの積を $-1$ とすると$$(3a^2-1)({\displaystyle \frac{3a^2}{4}}-1)=-1.$$$u=a^2$ とおけば$$9u^2-15u+8=0$$となるが、判別式は $-63$ で実数解をもたない。

したがって第1の場合だけが残り、$$(a,b)=({\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}},-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}}),(-{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}},{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{9}})$$である。各場合で $s\mathrm{\ne }0$ なので接点は相異なり、接線は確かに2本である。