東北大学 2006年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

(1) $$f(x)=ax-(1+x)\log (1+x)-(1-x)\log (1-x)$$ を微分する。まず $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(1+x)\log (1+x)\}=\log (1+x)+1$$ であり，また $${\displaystyle \frac{d}{dx}}\{(1-x)\log (1-x)\}=-\log (1-x)-1$$ である。したがって$$\begin{array}{rl}{\displaystyle f^{\mathrm{\prime }}(x)}& {\displaystyle =a-\{\log (1+x)+1\}-\{-\log (1-x)-1\}}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle =a+\log {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}}\end{array}$$である。

さらに $$f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=-{\displaystyle \frac{1}{1-x}}-{\displaystyle \frac{1}{1+x}}=-{\displaystyle \frac{2}{1-x^2}}$$ である。$-1<x<1$ では $1-x^2>0$ だから $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ であり，特に $${\displaystyle f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(0)=-2<0}$$ である。

(2)

(1) より $-1<x<1$ で常に $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ である。したがって $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調減少し，$f(x)$ の最大点は $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ を満たす点で一意に決まる。 $f^{\mathrm{\prime }}(x)=0$ は $$a+\log {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}=0$$ である。よって $$\log {\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}=-a$$ であり，$${\displaystyle \frac{1-x}{1+x}}=e^{-a}$$ となる。これを解くと $1-x=e^{-a}(1+x)$ より $1-e^{-a}=x(1+e^{-a})$ である。したがって $$x_0={\displaystyle \frac{1-e^{-a}}{1+e^{-a}}}={\displaystyle {\displaystyle \frac{e^a-1}{e^a+1}}}$$ である。

(3)

以下では $a=1$ とする。このとき $f(0)=0$ であり，$f^{\mathrm{\prime }}(0)=1+\log 1=1>0$ である。したがって $0$ のすぐ右側では $f(x)>0$ となる。

一方，$x\to 1-0$ とすると，$(1-x)\log (1-x)\to 0$ を用いて 次が成り立つ。$$\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=1-2\log 2$$ここで$$\log 2={\int }_1^2{\displaystyle \frac{dt}{t}}>{\int }_1^2{\displaystyle \frac{dt}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$だから $1-2\log 2<0$ である。よって $x$ が1に十分近いところでは $f(x)<0$ となる。 $f$ は $(0,1)$ で連続であり，0の右側で正，1の近くで負になる。したがって中間値の定理により，ある $0<x_1<1$ が存在して $${\displaystyle f(x_1)=0}$$ となる。

(4) $a=1$ のとき，(2)より最大点は $$x_0={\displaystyle \frac{e-1}{e+1}}$$ である。また $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)<0$ なのでグラフは全体に上に凸であり，$f^{\mathrm{\prime }}(x)$ は単調減少する。したがって $-1<x<x_0$ で増加し，$x_0<x<1$ で減少する。

端での極限は$$\underset{x\to -1+0}{\lim }f(x)=-1-2\log 2,\underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=1-2\log 2$$である。どちらも負である。さらに $$f(0)=0,f^{\mathrm{\prime }}(0)=1>0$$ なので，グラフは原点を正の傾きで通り，$x_0$ で最大値をとった後，(3)の $x_1$ で再び $x$ 軸と交わり，右端では負の値 $1-2\log 2$ に近づく。

以上をまとめると，概形は「左端で $-1-2\log 2$ に近づきながら増加し，原点を通過し，$x_0=(e-1)\mathrm{/}(e+1)$ で最大となり，その後減少して $x_1\in (0,1)$ で $x$ 軸を横切り，右端で $1-2\log 2$ に近づく上に凸な曲線」である。

全区間で上に凸なので、導関数の零点が唯一の最大点となり、グラフの交点順も確定する。