東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

最大時の模式図．1点だけ共有するため，差の関数はその点で最小値0をとる．

(1)

$y=e^x$の導関数は$y^{\mathrm{\prime }}=e^x$である。したがって，点$P(t,e^t)$における接線の傾きは$e^t$であり，接線$l$は $y-e^t=e^t(x-t)$ である。よって $y=e^t(x-t)+e^t$ である。

(2)

接線と曲線$C$の共有点を調べる。$x=t+u$とおくと，曲線上の点が接線上にもある条件は $e^{t+u}=e^{t}u+e^t$ である。$e^t>0$で割ると $e^u=u+1$ となる。

ここで $\varphi (u)=e^u-u-1$ とおく。すると ${\varphi }^{\mathrm{\prime }}(u)=e^u-1$ であるから，$u<0$で減少し，$u>0$で増加する。また $\varphi (0)=0$ である。したがって$\varphi (u)\geqq 0$であり，等号は$u=0$のときだけである。よって共有点は$u=0$，すなわち $x=t$ の点$P$のみである。

(3)

$C$と$D$が共有点をもつとし，その$x$座標を$t$とする。関数 $H(x)=e^x-\log (x-p)-q$ を考えると，$C$と$D$の共有点は$H(x)=0$の解である。$x>p$で $$H^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=e^x+{\displaystyle \frac{1}{(x-p{)}^2}}>0$$ だから，$H$は下に凸である。また$x\to p+0$でも$x\to \mathrm{\infty }$でも$H(x)\to \mathrm{\infty }$である。したがって共有点が1点だけであるためには，その点で最小値0をとり，2曲線が接する必要がある。

接点を$(t,e^t)$とする。$D$の傾きは ${\displaystyle \frac{1}{x-p}}$ なので，接する条件から ${\displaystyle \frac{1}{t-p}}=e^t$ である。よって $p=t-e^{-t}$ である。また接点が$D$上にあるので $e^t=\log (t-p)+q$ である。$t-p=e^{-t}$だから $e^t=-t+q$ となり，$q=e^t+t$ である。

したがって $$2p-q=2(t-e^{-t})-(e^t+t)=t-e^t-2e^{-t}$$ である。これを $F(t)=t-e^t-2e^{-t}$ とおく。微分すると $F^{\mathrm{\prime }}(t)=1-e^t+2e^{-t}$ である。$F^{\mathrm{\prime }}(t)=0$は，$y=e^t>0$とおくと $1-y+{\displaystyle \frac{2}{y}}=0$ すなわち $y^2-y-2=0$ である。よって $y=2$ であり，$t=\log 2$ である。また $F^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(t)=-e^t-2e^{-t}<0$ なので，この点で最大となる。

したがって $$p=t-e^{-t}=\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}},q=e^t+t=2+\log 2$$ である。求める値は $$p=\log 2-{\displaystyle \frac{1}{2}},q=2+\log 2$$ である。