東北大学 2009年度 前期日程 第2次学力試験文系数学 第1問

すべての実数$x$に対して $2^{2x+2}+a{2}^x+1-a>0$ が成り立つ条件を求める。$t=2^x$とおくと，$x$が実数全体を動くとき$t$は$t>0$の範囲を動く。また $2^{2x+2}=4(2^x{)}^2=4t^2$ であるから，求める条件は $f(t)=4t^2+at+1-a>0$ がすべての$t>0$で成り立つことである。

まず$a\geqq 0$のときを考える。このとき$t>0$では $f^{\mathrm{\prime }}(t)=8t+a>0$ であるから，$f(t)$は$t>0$で増加する。したがって$t\to +0$のときの極限 ${\lim }_{t\to +0}f(t)=1-a$ を見ればよい。$1-a<0$なら十分小さい正の$t$で$f(t)<0$となるので不適である。一方，$1-a\geqq 0$なら，$t>0$に対して $f(t)>1-a\geqq 0$ または$a=1$のときも$f(t)=4t^2+t>0$となり条件を満たす。よって $0\leqq a\leqq 1$ である。

次に$a<0$のときを考える。このとき頂点 $$t=-{\displaystyle \frac{a}{8}}$$ は正の範囲にある。したがって必要十分条件は頂点での値が正であることである。最小値は $$f(-{\displaystyle \frac{a}{8}})=1-a-{\displaystyle \frac{a^2}{16}}$$ だから $$1-a-{\displaystyle \frac{a^2}{16}}>0$$ が必要十分である。両辺を16倍して整理すると $a^2+16a-16<0$ である。この2次式の根は $a=-8\pm 4\sqrt{5}$ なので $-8-4\sqrt{5}<a<-8+4\sqrt{5}$ である。いま$a<0$を考えているから $-8-4\sqrt{5}<a<0$ となる。

以上を合わせて，求める$a$の範囲は $-8-4\sqrt{5}<a\leqq 1$ である。下端では頂点で$f(t)=0$となるため不可，上端$a=1$は$t>0$で$f(t)=4t^2+t>0$となるため可である。

$t=2^x>0$ とした後，二次式を $a$ の一次不等式と見て，$0<t<1$ と $t>1$ から得られる上限・下限をそれぞれ最適化する．端点が実際に許されるかも元の厳密不等式で確認する．

$t=2^x$ とおくと，条件は$$4t^2+1+a(t-1)>0(t>0)$$である．

$0<t<1$ では$$a<{\displaystyle \frac{4t^2+1}{1-t}}$$である．右辺を $U(t)$ とすると$$U^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{-4t^2+8t+1}{(1-t{)}^2}}>0(0<t<1)$$なので，その下限は $t\to +0$ における $1$ である．したがって必要条件は $a\leqq 1$ であり，$a=1$ でも$$4t^2+t>0$$だから上端は許される．

$t>1$ では$$a>-{\displaystyle \frac{4t^2+1}{t-1}}$$である．$$V(t)={\displaystyle \frac{4t^2+1}{t-1}}$$とおけば$$V^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{4t^2-8t-1}{(t-1{)}^2}}$$であり，$V$ は$$t=1+{\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}}$$で最小になる．このとき$$\underset{t>1}{\min }V(t)=8+4\sqrt{5}$$だから$$a>-8-4\sqrt{5}$$が必要十分である．

両側を合わせると$$-8-4\sqrt{5}<a\leqq 1$$となる．下端ではある正の $t$ で等号が生じるため含まれない．