東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

$$c=\cos t,s=\sin t$$ とおく。このとき $c^2+s^2=1$ であり，特に $(c,s)\mathrm{\ne }(0,0)$ である。 $M=cA+sB$ とおくと$$M=\left(\begin{array}{cc}c+as& (a+1)c\\ 2s& -c-as\end{array}\right)$$である。ここで $$U=c+as,V=(a+1)c,W=2s$$ と書けば$$M=\left(\begin{array}{cc}U& V\\ W& -U\end{array}\right)$$である。この形の行列を二乗すると$$M^2=\left(\begin{array}{cc}{U}^2+VW& 0\\ 0& U^2+VW\end{array}\right)$$となる。したがって $M^2=O$ であるための条件は $U^2+VW=0$ である。

これを $c,s$ で書くと $(c+as{)}^2+2(a+1)cs=0$ である。展開して $c^2+2(2a+1)cs+a^2{s}^2=0$ を得る。

もし $s=0$ なら，$c^2+s^2=1$ より $c\mathrm{\ne }0$ であり，上の式は $c^2=0$ となって矛盾する。したがって解があるなら $s\mathrm{\ne }0$ である。そこで $$r={\displaystyle \frac{c}{s}}$$ とおくと $r^2+2(2a+1)r+a^2=0$ となる。この二次方程式が実数解をもつことが必要十分である。

判別式が0以上であればよいから $\{2(2a+1){\}}^2-4a^2\geqq 0$ である。整理して $4\{(2a+1{)}^2-a^2\}\geqq 0$ すなわち $3a^2+4a+1\geqq 0$ である。因数分解すると $(a+1)(3a+1)\geqq 0$ である。

よって求める範囲は $$a\leqq -1,-{\displaystyle \frac{1}{3}}\leqq a$$ である。逆に，この範囲では上の二次方程式に実数解 $r$ がある。非零の組 $(r,1)$ は同次二次式を満たすので，これを正規化すれば $c^2+s^2=1$ を満たす組が得られる。したがって実際にある実数 $t$ が存在する。

行列を二乗して得られる条件を $(\cos t,\sin t)$ の二次形式と見る。単位円上に零点をもつ条件は、対応する実対称行列が不定または特異であること、すなわち行列式が0以下であることに等しい。

$c=\cos t,s=\sin t$ とおく。直接計算すると$$\{cA+sB{\}}^2=\{c^2+2(2a+1)cs+a^2{s}^2\}I$$である。したがって必要十分条件は、単位ベクトル $(c,s)$ に対して$$\left(\begin{array}{cc}c& s\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 2a+1\\ 2a+1& a^2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}c\\ s\end{array}\right)=0$$となることである。

実対称な $2\times 2$ 行列に対する二次形式が非零ベクトル上で $0$ をとるのは、2つの固有値の符号が異なるか、少なくとも一方が $0$ のときである。これは行列式が $0$ 以下であることと同値である。よって$$a^2-(2a+1{)}^2\leqq 0.$$整理すると$$3a^2+4a+1=(3a+1)(a+1)\geqq 0.$$したがって$$a\leqq -1\text{または}a\geqq -{\displaystyle \frac{1}{3}}\mathrm{.}$$この条件のもとで得られる非零の零ベクトルを長さ1に正規化すれば、ある実数 $t$ の $(\cos t,\sin t)$ として表せるので、十分性も満たされる。