東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第4問

初期値を $x_0=0$ とし，$$x_n=\sqrt{x_{n-1}+2}(n=1,2,3,\dots )$$ として考える。

(1)
まず $x_n<2$ と単調増加を示す。$x_0=0<2$ であり，$x_n<2$ なら $$x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}<\sqrt{4}=2$$ である。よって帰納法により $x_n<2$ がすべての $n$ で成り立つ。

また $0\leqq x_n<2$ のとき，$x_{n+1}>x_n$ は $$\sqrt{x_n+2}>x_n$$ と同値である。両辺は非負なので二乗してよく，$x_n+2>x_n^2$ すなわち $(2-x_n)(x_n+1)>0$ である。これは $0\leqq x_n<2$ から成り立つ。したがって $x_n<x_{n+1}<2$ である。

次に下からの評価を示す。$d_n=2-x_n$ とおくと$$d_{n+1}=2-x_{n+1}=\frac{4-x_{n+1}^2}{2+x_{n+1}}=\frac{2-x_n}{2+x_{n+1}}=\frac{d_n}{2+x_{n+1}}\mathrm{.}$$ここで $x_{n+1}>0$ だから $2+x_{n+1}>2$ であり，$$d_{n+1}<{\displaystyle \frac{d_n}{2}}$$ である。また $d_1=2-\sqrt{2}<1$ なので，帰納法により $$d_n<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}$$ である。すなわち $$2-x_n<{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}$$ であり，$$2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}<x_n$$ である。

以上より $$2-{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^{n-1}<x_n<x_{n+1}<2$$ が成り立つ。

(2)
(1) と同じく $d_n=2-x_n$ とおく。上で得た式 $$d_{n+1}={\displaystyle \frac{d_n}{2+x_{n+1}}}$$ を用いる。$x_{n+1}<2$ だから $2+x_{n+1}<4$ であり，$$d_{n+1}>{\displaystyle \frac{d_n}{4}}$$ である。また $d_1=2-\sqrt{2}>{\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。したがって帰納法により $$d_n>{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n$$ である。すなわち $$x_n<2-{\left({\displaystyle \frac{1}{4}}\right)}^n$$ である。

(3)
(2) より $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ は条件を満たす。

これより大きい $\alpha$ が条件を満たさないことを示す。$x_n$ は増加して2より小さいので，極限を $L$ とすると $$L=\sqrt{L+2}$$ である。$0\leqq L\leqq 2$ より $L=2$ である。したがって $${\displaystyle \frac{d_{n+1}}{d_n}}={\displaystyle \frac{1}{2+x_{n+1}}}\to {\displaystyle \frac{1}{4}}$$ である。

いま $\alpha >1\mathrm{/}4$ とする。$1\mathrm{/}4<\rho <\alpha$ となる $\rho$ を1つ取る。十分大きい $n$ では $${\displaystyle \frac{d_{n+1}}{d_n}}<\rho$$ が成り立つ。するとある番号 $N$ 以後で $d_n<d_N{\rho }^{n-N}$ となる。ところが $\rho \mathrm{/}\alpha <1$ なので，十分大きい $n$ では $d_N{\rho }^{n-N}<{\alpha }^n$ となる。したがって $d_n<{\alpha }^n$ となる $n$ が存在し，すべての $n$ について $x_n<2-{\alpha }^n$、すなわち $d_n>{\alpha }^n$ を満たすことはできない。

よって最大の定数は $\alpha ={\displaystyle \frac{1}{4}}$ である。

固定点2へ近づく反復

階段状の線は $$x_{n+1}=\sqrt{x_n+2}$$ の反復を表し、固定点2へ近づく。