東北大学 2008年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第3問

(1) $u=\cos \theta$ とおく。$OA=OB=OC=1$ であり，3つの中心角がすべて $\theta$ なので$$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}\cdot \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OC}\cdot \overrightarrow{OA}=u$$である。

まず，$ABC$ の一辺を求めると $$A{B}^2=\mathrm{\mid }\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}{\mathrm{\mid }}^2=1+1-2u=2(1-u)$$ である。したがって $ABC$ は一辺 $\sqrt{2(1-u)}$ の正三角形である。正三角形の重心は中線を $2:1$ に分けるので $$AG={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}}AB=\sqrt{{\displaystyle \frac{2(1-u)}{3}}}$$ である。

次に$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}{3}}$$である。よって$$O{G}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}{\mid \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\mid }^2$$であり，右辺を内積で展開すると $$O{G}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\{3+2(u+u+u)\}={\displaystyle \frac{1+2u}{3}}$$ となる。したがって$$AG=\sqrt{{\displaystyle \frac{2(1-\cos \theta )}{3}}},OG=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+2\cos \theta }{3}}}$$である。

(2) $0<\theta <2\pi \mathrm{/}3$ なので $-{\displaystyle \frac{1}{2}}<u<1$ である。 $ABC$ の面積は，一辺が $\sqrt{2(1-u)}$ の正三角形であるから $${\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4}}\{\sqrt{2(1-u)}{\}}^2={\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(1-u)$$ である。また $O$ は3点 $A,B,C$ から等距離にあり，$G$ も正三角形 $ABC$ の中心であるから，直線 $OG$ は平面 $ABC$ に垂直である。したがって四面体の高さは $OG$ である。

よって体積 $V$ は$$V={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}}(1-u)\cdot \sqrt{{\displaystyle \frac{1+2u}{3}}}={\displaystyle \frac{(1-u)\sqrt{1+2u}}{6}}$$である。$V>0$ なので，$V$ を最大にするには $36V^2=(1-u{)}^2(1+2u)$ を最大にすればよい。 $F(u)=(1-u{)}^2(1+2u)$ とおく。展開すると $F(u)=1-3u^2+2u^3$ であり，$F^{\mathrm{\prime }}(u)=-6u+6u^2=-6u(1-u)$ である。区間 $-1\mathrm{/}2<u<1$ では，$F^{\mathrm{\prime }}(u)>0$ が $-1\mathrm{/}2<u<0$，$F^{\mathrm{\prime }}(u)<0$ が $0<u<1$ で成り立つ。したがって $F(u)$ は $u=0$ で最大になる。

このとき $$V={\displaystyle \frac{(1-0)\sqrt{1}}{6}}={\displaystyle \frac{1}{6}}$$ である。よって最大値は ${\displaystyle \frac{1}{6}}$ である。

$ABC$ は正三角形で、$G$ はその重心・外心である。したがって $OG$ が四面体の高さになる。

3本の単位ベクトルの内積を並べたグラム行列を作る。(1)はベクトルの平均との差から長さを求め、(2)はグラム行列の行列式が平行六面体の体積の2乗になることを用いる。底面と高さを別々に計算せず、体積を直接1変数化できる。

(1) $$\mathit{a}=\overrightarrow{OA}$$、$$\mathit{b}=\overrightarrow{OB}$$、$$\mathit{c}=\overrightarrow{OC}$$、$u=\cos \theta$ とおく。3本は単位ベクトルで、異なる2本の内積はすべて $u$ である。$$\overrightarrow{OG}={\displaystyle \frac{\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{3}}$$だから$$O{G}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\{3+6u\}={\displaystyle \frac{1+2u}{3}}\mathrm{.}$$また$$\overrightarrow{AG}={\displaystyle \frac{-2\mathit{a}+\mathit{b}+\mathit{c}}{3}}$$より$$A{G}^2={\displaystyle \frac{1}{9}}\{4+1+1-4u-4u+2u\}={\displaystyle \frac{2(1-u)}{3}}\mathrm{.}$$したがって$$AG=\sqrt{{\displaystyle \frac{2(1-\cos \theta )}{3}}},OG=\sqrt{{\displaystyle \frac{1+2\cos \theta }{3}}}\mathrm{.}$$(2)
$\mathit{a},\mathit{b},\mathit{c}$ のグラム行列は$$\left(\begin{array}{ccc}1& u& u\\ u& 1& u\\ u& u& 1\end{array}\right)$$で、その行列式は$$(1-u{)}^2(1+2u)$$である。四面体の体積を $V$ とすると、3本のベクトルが張る平行六面体の体積が $6V$ だから$$36V^2=(1-u{)}^2(1+2u)\mathrm{.}$$$-{\displaystyle \frac{1}{2}}<u<1$ で右辺を $F(u)$ とおけば$$F^{\mathrm{\prime }}(u)=-6u(1-u)\mathrm{.}$$よって $F$ は $-1\mathrm{/}2<u<0$ で増加し、$0<u<1$ で減少する。最大は $u=0$ のときで、$36V^2=1$ となる。したがって$$V_{\max }={\displaystyle \frac{1}{6}}\mathrm{.}$$