東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験文系（後期）数学 第4問

折れ線の式を区間ごとに求める。点 $(-1,0)$ と $(0,1)$ を結ぶ直線は傾き1なので $$f(x)=x+1(-1\leqq x\leqq 0)$$ である。また，点 $(0,1)$ と $(1,4)$ を結ぶ直線は傾き3なので $$f(x)=3x+1(0\leqq x\leqq 1)$$ である。

さらに、$-1\leqq x\leqq 0$ では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=-x$、$0\leqq x\leqq 1$ では $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }=x$ である。積分値を $I$ とおくと$$\begin{array}{rl}{\displaystyle I}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{x+1-(-ax+b){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^1\{3x+1-(ax+b){\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle ={\int }_{-1}^0\{(1+a)x+1-b{\}}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle +{\int }_0^1\{(3-a)x+1-b{\}}^{2}dx\mathrm{.}}\end{array}$$一般に$${\int }_0^1(px+q{)}^{2}dx=\frac{p^2}{3}+pq+q^2$$であり、左側の積分も $u=-x$ と置けば同様に処理できる。展開して整理すると$$I=\frac{2}{3}{a}^2+2ab-\frac{10}{3}a+2b^2-6b+\frac{22}{3}$$である。

まず $b$ を固定して $a$ について平方完成する。$$I=\frac{2}{3}{(a-\frac{5-3b}{2})}^2+(\frac{1}{2}{b}^2-b+\frac{19}{6})\mathrm{.}$$したがって，固定した $b$ に対して最小となるのは $$a={\displaystyle \frac{5-3b}{2}}$$ のときである。

残った $b$ の式は $${\displaystyle \frac{1}{2}}{b}^2-b+{\displaystyle \frac{19}{6}}={\displaystyle \frac{1}{2}}(b-1{)}^2+{\displaystyle \frac{8}{3}}$$ である。よって最小となるのは $b=1$ のときであり，そのとき $$a={\displaystyle \frac{5-3}{2}}=1$$ である。

したがって $a=1,b=1$ であり，最小値は ${\displaystyle \frac{8}{3}}$ である。

基準となる近似関数を $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+1$ と選ぶ。$f(x)-(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+1)=2x$ は奇関数であり、一般の補正 $(1-a)\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+(1-b)$ は偶関数である。対称区間では両者の積分が0になるため、誤差平方積分が直交分解される。

区間ごとの式から$$f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1& (-1\leqq x\leqq 0),\\ 3x+1& (0\leqq x\leqq 1)\end{array}$$である。したがって両区間で$$f(x)-(\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+1)=2x$$が成り立つ。

よって$$f(x)-(a\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+b)=2x+(1-a)\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+(1-b)\mathrm{.}$$ここで $2x$ は奇関数、$$E(x)=(1-a)\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+(1-b)$$は偶関数である。したがって $2xE(x)$ は奇関数であり、対称区間上で$${\int }_{-1}^{1}2xE(x)dx=0$$となる。ゆえに$$\begin{array}{rl}{\displaystyle {\int }_{-1}^1\{f(x)-(a\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+b){\}}^{2}dx}& {\displaystyle ={\int }_{-1}^{1}4x^{2}dx+{\int }_{-1}^{1}E(x{)}^{2}dx}\\ {\displaystyle }& {\displaystyle \geqq {\int }_{-1}^{1}4x^{2}dx\mathrm{.}}\end{array}$$等号が成り立つには $E(x)\equiv 0$ が必要十分であり、$$a=1,b=1$$である。このとき最小値は$${\int }_{-1}^{1}4x^{2}dx=\frac{8}{3}$$となる。