東北大 2012年度理系（後期）数学第1問｜問題・解答・解説

方針

指数部分を正の変数に置き換える。(1)は $u = 2^{x}$ 、 $v = 3^{y}$ として、条件を中心 $(2, 1)$ 、半径2の円板に直す。求める $u + v$ の最大は円の中心から $(1, 1)$ 方向へ進んだ点でとり、最小側は $u > 0, v > 0$ という開いた条件のため下限が達成されないことに注意する。(2)は $u = 2^{x}, w = 2^{y}$ として $2^{x + y} = u w$ の最大化に帰着し、 $u (2 u - u^{2})$ を微分する。

解答

(1) $u = 2^{x}, v = 3^{y}$ とおく。すると $u > 0, v > 0$ であり、条件は $u^{2} - 4 u + v^{2} - 2 v ≦ - 1$ である。平方完成すると $(u - 2)^{2} + (v - 1)^{2} ≦ 4$ となる。求める量は $2^{x} + 3^{y} = u + v$ である。

円板の中心は $(2, 1)$ 、半径は2である。 $u + v$ は方向 $(1, 1)$ に進むほど大きくなるから、最大値は中心から $(1, 1)$ 方向へ距離2だけ進んだ点でとる。そのとき $(u + v)_{\max} = 2 + 1 + 2 \sqrt{2} = 3 + 2 \sqrt{2}$ である。

最小側については、中心から $(- 1, - 1)$ 方向へ進んだ点は $v < 0$ となり、 $v > 0$ の条件に合わない。したがって境界 $v = 0$ に近づけて考える。 $v = 0$ とすると $(u - 2)^{2} + 1 = 4$ より、最小側の $u$ は $u = 2 - \sqrt{3}$ である。ただし実際には $v = 3^{y} > 0$ なので $v = 0$ は達成できない。よって下限は $2 - \sqrt{3}$ であるが、最小値としては取れない。

以上より $2 - \sqrt{3} < 2^{x} + 3^{y} ≦ 3 + 2 \sqrt{2}$ である。

(2) $u = 2^{x}, w = 2^{y}$ とおく。すると $u > 0, w > 0$ であり、条件は $u^{2} - 2 u + w ≦ 0$ すなわち $w ≦ 2 u - u^{2}$ である。右辺が正でなければならないので $0 < u < 2$ である。

求める $x + y$ は $x + y = \log_{2} (2^{x} 2^{y}) = \log_{2} (u w)$ である。 $\log_{2}$ は増加関数なので、 $u w$ の最大値を求めればよい。条件から $u w ≦ u (2 u - u^{2}) = 2 u^{2} - u^{3}$ である。微分すると $(2 u^{2} - u^{3})^{'} = 4 u - 3 u^{2} = u (4 - 3 u)$ であるから、 $0 < u < 2$ で最大となるのは $u = \frac{4}{3}$ のときである。このとき $u w ≦ 2 {(\frac{4}{3})}^{2} - {(\frac{4}{3})}^{3} = \frac{32}{27}$ であり、等号は $w = 2 u - u^{2}$ のとき実現できる。

一方、 $w > 0$ はいくらでも0に近づけられるので、 $u w$ も0に近づき、 $x + y$ に下限はない。したがって $x + y ≦ \log_{2} \frac{32}{27}$ であり、下には限りがない。

(1) の置換後は、第1象限内の円板上で直線 $u + v = 一定$ を動かす問題になる。

総評

難度6、目安時間28分。指数を正の変数に置き換えると、(1)は円板上の一次式、(2)は一変数の最大化になる。(1)では $u > 0, v > 0$ が開条件であるため下限が達成されない点が重要である。(2)では $x + y$ を直接扱うのではなく $2^{x + y} = u w$ を最大化すると、微分すべき式が $2 u^{2} - u^{3}$ に整理される。

出典: 東北大学 2012年度後期数学。問題文はHTML表示のために再入力・数式組版しています。

東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第1問

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解答

総評

東北大学 2012年度後期日程第2次学力試験理系（後期）数学第1問