東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験理系数学 第5問

領域の条件は $$0\leqq y\leqq \sin x,0\leqq x\leqq t-y$$ である。第2の不等式は $y\leqq t-x$ と同値である。したがって，固定した $x$ に対する上端は $\min (\sin x,t-x)$ である。

$0<t<3<\pi$ であるから，$0\leqq x\leqq t$ において $x+\sin x$ は単調に増加する。よって $u+\sin u=t$ を満たす $u$ がただ1つ存在する。$0\leqq x\leqq u$ では $$x+\sin x\leqq u+\sin u=t$$ より $\sin x\leqq t-x$ である。一方，$u\leqq x\leqq t$ では $t-x\leqq \sin x$ である。

したがって、$x$ 軸のまわりに回転してできる体積は$$V(t)=\pi {\int }_0^u{\sin }^{2}xdx+\pi {\int }_u^t(t-x{)}^{2}dx$$である。

これを $t$ で微分する。$u$ は $t$ の関数であることに注意すると$$\frac{1}{\pi }\frac{dV}{dt}={\sin }^{2}u\frac{du}{dt}-(t-u{)}^2\frac{du}{dt}+{\int }_u^{t}2(t-x)dx\mathrm{.}$$ここで $u+\sin u=t$ より $t-u=\sin u$ なので、最初の2項は打ち消し合う。したがって$$\frac{dV}{dt}=\pi {\int }_u^{t}2(t-x)dx=\pi (t-u{)}^2=\pi {\sin }^{2}u$$である。

条件 $${\displaystyle \frac{dV}{dt}}={\displaystyle \frac{\pi }{4}}$$ は ${\sin }^{2}u={\displaystyle \frac{1}{4}}$ を意味する。$0<u<t<3<\pi$ であり，また $t=u+\sin u<3$ を満たす必要がある。$0<u<\pi$ で $\sin u=1\mathrm{/}2$ となるのは $$u={\displaystyle \frac{\pi }{6}},u={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}$$ であるが，$u=5\pi \mathrm{/}6$ では $$t=u+\sin u={\displaystyle \frac{5\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}>3$$ となり不適である。よって $$u={\displaystyle \frac{\pi }{6}}$$ であり，$$t={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}$$ である。

このとき$$V=\pi {\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}{\sin }^{2}xdx+\pi {\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}6+1\mathrm{/}2}{(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}-x)}^{2}dx$$である。まず$${\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}{\sin }^{2}xdx={\int }_0^{\pi \mathrm{/}6}\frac{1-\cos 2x}{2}dx={[\frac{x}{2}-\frac{\sin 2x}{4}]}_0^{\pi \mathrm{/}6}=\frac{\pi }{12}-\frac{\sqrt{3}}{8}$$である。また，後半の積分は $$s={\displaystyle \frac{\pi }{6}}+{\displaystyle \frac{1}{2}}-x$$ とおくと$${\int }_{\pi \mathrm{/}6}^{\pi \mathrm{/}6+1\mathrm{/}2}{(\frac{\pi }{6}+\frac{1}{2}-x)}^{2}dx={\int }_0^{1\mathrm{/}2}{s}^{2}ds=\frac{1}{24}$$である。

したがって $$V=\pi ({\displaystyle \frac{\pi }{12}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{8}}+{\displaystyle \frac{1}{24}})$$ である。

回転する領域の上端

交点 $u+\sin u=t$ を境に、上端が $\sin x$ から $t-x$ へ切り替わる。