東北大学 2010年度 後期日程 第2次学力試験理系（後期）数学 第5問

(1)
$u=\cos x$ とおくと，$0\leqq x\leqq 2\pi$ に対して $-1\leqq u\leqq 1$ である。方程式は $\cos (\pi u)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となる。

$-1\leqq u\leqq 1$ の範囲では，$\pi u$ は $-\pi$ から $\pi$ まで動く。この範囲で $\cos (\pi u)={\displaystyle \frac{1}{2}}$ となるのは $$\pi u=\pm {\displaystyle \frac{\pi }{3}}$$ のときである。したがって $u=\pm {\displaystyle \frac{1}{3}}$ である。

$u=1\mathrm{/}3$，$u=-1\mathrm{/}3$ はどちらも $-1<u<1$ にあるので，それぞれに対して $0\leqq x\leqq 2\pi$ の解は2個ずつある。よって解の個数は $4$ である。

(2)
同じく $u=\cos x$ とおくと，方程式は $\cos (\pi u)=u$ である。そこで $h(u)=\cos (\pi u)-u$ とおき，$-1\leqq u\leqq 1$ で零点の個数を調べる。

まず $h(-1)=\cos (-\pi )+1=0$ である。また$$h(-\frac{5}{6})=\cos (-\frac{5\pi }{6})+\frac{5}{6}=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{5}{6}<0$$であり，$$h(-{\displaystyle \frac{1}{2}})=\cos (-{\displaystyle \frac{\pi }{2}})+{\displaystyle \frac{1}{2}}={\displaystyle \frac{1}{2}}>0$$ である。したがって $(-5\mathrm{/}6,-1\mathrm{/}2)$ に少なくとも1つ零点がある。

この区間を含む $[-1,-1\mathrm{/}2]$ では $$h^{\mathrm{\prime }}(u)=-\pi \sin (\pi u)-1,h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)=-{\pi }^2\cos (\pi u)$$ である。$-1\leqq u\leqq -1\mathrm{/}2$ では $\cos (\pi u)\leqq 0$ なので $h^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(u)\geqq 0$ である。よって $h^{\mathrm{\prime }}$ は増加関数であり，$h$ はこの区間で一度減少してから増加する形になる。したがって $[-1,-1\mathrm{/}2]$ における零点は，端点 $u=-1$ と，その後の1個だけである。

次に $[-1\mathrm{/}2,0]$ では $\cos (\pi u)\geqq 0,-u\geqq 0$ であり，両方が同時に0になることはない。したがって $h(u)=\cos (\pi u)-u>0$ であり，零点はない。

最後に $[0,1]$ では $$h^{\mathrm{\prime }}(u)=-\pi \sin (\pi u)-1<0$$ であるから，$h$ は単調減少する。また $$h(0)=1>0,h(1)=-2<0$$ である。したがって $[0,1]$ には零点が1つだけある。

以上より，$u$ の解は $$u=-1,-1<u<-{\displaystyle \frac{1}{2}}\text{ に1個},0<u<1\text{ に1個}$$ の合計3個である。$u=-1$ は $x=\pi$ の1個だけを与え，残り2つの解は $-1<u<1$ にあるので，それぞれ $x$ を2個ずつ与える。

したがって $x$ の解の個数は $1+2+2=5$ である。

$u$ に置き換えた零点の配置

$u=-1$ の端点解と、区間内部の2解を $x$ の個数へ戻す。